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《高等代数下》试卷及答案十 1.选择题 1．设是n阶对称正定阵，则是___ _。 A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵 2．? 设是n阶非零实对称阵，则是半正定阵的充要条件是___ _。 A. 的所有k阶子式非负（） B. 存在n阶非零矩阵，使得 C. 对元素全不为零的向量，总有 D. 存在非零向量，使得 3．设是二维行空间中的任意两个向量，则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。 A. B. C. D. 4．设是欧氏空间的子空间，分别是的正交补空间，则下列叙述中错误的是___ _ A. B. C. 若，则 D. 若，则 5．设是n阶矩阵，则下列叙述中错误的是___ _。 A. 若是正交阵，则也是正交阵 B. 若是正定阵，则也是正定阵 C. 若是正交阵，则也是正交阵 D. 若是正定阵，则也是正定阵 6．设是n阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。 ①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似 ③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．设是n阶实对称阵，则满足___ _时，必相似。 A. ，其中分别为的极小多项式 B. ，其中分别为的特征多项式 C. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数 D. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数 8．设是n维欧氏空间上的自伴随算子，则下列说法正确的有___ _个。 ①在的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵 ②在的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵 ③在的某组基下的表示矩阵是对角阵 ④在的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二 填空题（8题×4分） 1．设是实对称阵，且，则_____。 2．写出实对称阵是正定的三个充要条件_____。①；②；③；④可逆矩阵，使得；⑤ A的特征值全大于0；⑥ A的顺序主子式全大于0 3．? 设是欧氏空间上的两个向量，则_____，且等号成立的充要条件是_____。 4．? 用Gram-Schmit正交化方法求由所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积）_____。 5．设是三维欧氏空间的一组基，其度量矩阵为，向量，则_____。 6．设是n维欧氏空间的子空间，且，则_____n（选择） 7．设是n阶正交阵，若，则_____。 8．设是2阶正交阵，则必形如_____或_____。 三 (8分) 设三阶实对称阵的特征值为1（二重）和，且是对应于1的两个特征向量。 1）求对应的所有特征向量； 2）求矩阵。 四 (8分) 设是n阶实对称阵，其特征值为证明：对任意的n维列向量，均成立 。 五 (10分) 设为n维欧氏空间V的一组基。证明：这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量，都有 。 六 (10分) 设是n阶实矩阵。证明：的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵，使得为上三角阵。 附加题：（不计入总分） 设是n阶实对称阵，正定，半正定。证明： 1）? 若，则； 2）? 。 参考答案 一、选择题 1． B 2．? B 3． C 4． C 5．D 6． B 7． B 8． C 二 填空题（8题×4分） 1． 0 3 ；线性相关即使得或 4．? 5． 6． 7． 0 8． 三 (8分) 解: 设=是所对应的特征向量，则由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，可得 解得上方程的基础解系为，所以的所有特征向量为，其中且。 （法一）将单位化后得： 记，则，故 。 （法二）由法一有，即 。 四 (8分) 证明：(法一) 因为是实对称矩阵，所以存在正交阵，使得： 对任意，令，则且 同理可证。故命题成立。 (法二) 因为是实对称矩阵，是的特征值，所以也是实对称矩阵，且是其所有特征值。由可知。故是半负定矩阵，从而，即。同理可证， 。命题得证。 五 (10分) 证明：（必要性）记。因为是V的一组标准正交基，所以。故。从而由为V的一组基可知=。命题得证。 （充分性）（法一）对任意取，则有。简单整理得 。 注意到是V的一组基，必线性无关，故上式中的系数必为0，即。这就证明了是V的一组标准正交基。 （法二）依题意，得 记。则，即 （*） 由的任意性以及是V的一组基可知，（*）式对任意的都成立。故，即。所以是V的一组标准正交基。 六 (10分) 证明：（充分性）存在正交阵，使得为上三角阵，对角元全是实数。而上三角阵的特征值恰为其对角元，所以的特征值全为实数。又因为与相似，相似矩阵有相同的特征值，所以的特征值全