初中数学—构造法.docVIP

知识点拨 【知识提要】 代数构造； 几何构造； 其他一些构造。 【基本题型】 证明存在符合题目条件的某个“事物”； 说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）； 其他一些杂题。 【解题技巧】 构造一一对应方法； 用组合数学的方法； 极端的思想。 快乐热身 【热身】求证：区间上的实数和整个实数集中的实数一样多。 【解析】分析 两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。 解 令函数，则易知是从到上的一一映射。所以，这两个集合里面的数一样多。 说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 用构造法求的值。 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。 解 分母出现，那么考虑到的全排列。 第一个数是的概率为； 考虑第二项，是“前项中没有出现”的概率，且这显然与“第一个数是”互斥；那么，便是：前项中没有出现，且第一项为的概率。 继续考虑第三项，是前项中没有出现或，且第一项为的概率。 …… 最后一项是前项中没有出现，，，……，，且第一项为的概率。 综上所述，所求的数为第一项是前项中最小的那项的概率，所以等于。 说明 本题当然也可以用裂项法。 记为正整数，设为数字和为且不含有，，以外的数字的自然数个数，为数字和为且不含有，以外的数字的自然数个数。求证：。 分析 证明数目相等，可以设法构造一一对应。 解 观察发现，可以看做将一段长度为的链拆分成长度为，，的节，而可以看做将一段长度为的链拆分成长度为，的节。现在，在中，分别观察其奇数节和偶数节，则分别都被拆成了长度为和的部分，也就是说对应两个中的数；反之，对于两个中的数，将它们咬合，所有长度为的部分都和另一个数中的相应部分合成一组，即可。 不难发现这是一一对应，所以，结论得证。 【变式】在数列中，，，，递推公式为。求证：当为质数时，。 分析 求出通项公式并不容易，有没有办法巧妙地构造呢？ 解 根据递推公式，觉得可能是将一段长度为的链拆成长度为和的节的方法数目，但是尝试了前几个数后发现并不符合。再想想，原来其实是将一段长度为的环拆成长度为和的节的方法数目，这样验证前几项确实符合，所以当是质数时，一种方法旋转后可以形成种不同的方法（包括自身），不会重复，当然有。 说明 这种递推的方法小学的时候就学过了，属于“上楼梯问题”。 求证：存在从到的一个函数，使得对任何，都有。 分析 既然是证明“存在”，当然要用构造法。 解 首先易知不能有两个自变量对应同一个函数值。显然，必须有。 设，则，，……，于是形成一个链： ，这里可以令，是一种方法。 同理，对于后面的数，去掉完全平方数后，每两个一组，交替排列： ，，即可。 求证：对于每个不被整除的正整数，都存在一个各个数位奇偶交替的正整数，使得被整除。 分析 同学们一定还都记得这道题目：对于每个与互质的正整数，都存在一个各个数位都是的正整数，使得被整除。可以用类似的方法构造出这样的数 解 根据那道题，如果与互质，则只要考虑，，，……，这里面找出两项除以的余数相同的，然后作差即可。 如果被整除但是不被整除，可以设法将换成别的字符串。考虑所有这样的位数：它们的奇数位（从后往前数，下同）都只取或，偶数位都只取或。这样的数共有个，都是偶数，且这里面的任何两个之差都不能被整除。所以，这些数被除的余数一定分别是，，，……，的一个排列，也就是说一定有一个能被整除。取使得大于里面含有的的方幂，将这个数重复写，用上面的结论即可。 如果被整除但是不被整除，用类似的方法，考虑所有这样的位数：它们的奇数位（从后往前数，下同）都只取偶数，偶数位都只取奇数。把上面的幂换成的幂，类似考虑即可。 【铺垫】有多少个这样的十位自然数：每位数字都是奇数，且能被整除？ 分析 可以从位数少的情况开始归纳，使用逐级满足法。 解 容易发现，如果这样的十位数被整除，它一定也被整除，从而末位数组成的多位数一定也被整除。显然，个位一定是5。 在中，只有能被整除，所以末两位一定是。 在中，只有能被整除，所以末三位一定是。 在中，任何两个的差都被整除但不被整除，所以，这五个数被除的余数一定是的某个排列，一定恰有一个符合条件。 这样继续推导，可以得到：满足题意的十位数恰好有一个。 已知存在个互不相等的无理数，使得其中任意个数中都有个数之和为有理数。求的最大值。 分析 既然是求最大值，那就设法构造出个，同时要证明不存在这样的个。 解 个显然可以，个的话，只要取两对相反数即可。个可不可以呢？ 我们用图论的方法，如果这里面某两个数之和为有理数，则连一条边。 易知图中不存在三角形，