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第一节 时域数学模型—微分方程 第二章 控制系统的数学模型 第一节 控制系统的时域数学模型 项 目 内 容 教 学 目 的 ?如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。 教 学 重 点 ?如何建立控制系统的时域数学模型。 教 学 难 点及 其 处 理 ?关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。 数学模型的基本概念 数学、工程、控制三者的统一 中学时的函数概念： 在电路的学习中对函数概念的理解： 自动控制系统对函数概念的理解： 研究对象的复杂程度加深 一 引 言 同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过机械工程控制基础课程把数学、机械工程、控制三者联系统一起来。 学习机械工程控制基础的思维方式： 数学的方法，机械工程的意识，控制的语言。 数学模型的定义：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。 实际物理系统 理想化 物理模型 数学化 数学模型 线性化 线性数学模型 无量纲化 可用数学模型 标准化 标准数学模型 分析法:是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构已知的常用此法。 试验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。 数学模型建立（建模）的方法 无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一定精度的近似模型。这点与其他课程不同。 单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为： 式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定 。 微分方程的一般形式 二 时域数学模型-微分方程 建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤 1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量； 2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程； 4、标准化。 例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。 电气系统 (1)由KVL，得 又因为 (2)消去中间变量 i(t) (3)标准化 解： 例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。 对L1，由KVL得 对L2，由KVL得 列出各元件的输入变量和输出变量的关系式 R1： R2： C1： C2： 解： 或 式中： 提醒注意 上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下： 消去中间变量uc1(t)，得： 原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。 负载效应 机械系统 弹簧—质量—阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f (t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。 f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下： （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有： 图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统 （3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有： 式中 f 1(t)——阻尼器阻力； f 2(t)——弹簧力。 (2.2) 式中B —— 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f2 (t) = K y(t) (2.3) 式中 K—— 弹性系数。 (2.1) （4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式 : 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。