高二数学培优讲义导数的概念与运算.docVIP

第十讲 导数的概念与运算 教学目标：1、了解导数概念的实际背景． 理解导数的几何意义．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.知识点1、导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 几种常见函数的导数①(C)′＝ (C为常数)；　(xn)′＝nxn－1；(nQ) ③(sinx)′＝cos_x ； 　　(cosx)′＝－sin_x； (ex)′＝ex ； 　　 (ax)′＝axln_a ；(lnx)′＝ .⑧(logax)′＝ 知识点3、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．知识点4、复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．　求下列函数的导数 (1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e. [解答]　(1)y＝(1－)＝－＝x－x，y′＝(x)′－(x)′＝－x－x. (2)y′＝′＝＝＝. (3)y′＝′＝＝＝. (4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. 若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”如何求解？ 解：y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x ∴y′＝－cos x．　　　　 变式练习1．求下列函数的导数 (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝. 解：(1)y＝＝x＋x3＋，y′＝(x)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′＝－x＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，y′＝3x2＋12x＋11. (3)y＝＋＝，y′＝′＝＝. (4)y＝＝cos x－sin x，y′＝－sin x－cos x. 　求下列复合函数的导数： (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)． [解答]　(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成， y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4. (2)设u＝3－x，则y＝由y＝u与u＝3－x复合而成． y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝u－(－1)＝－u＝－＝. (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2 ＝4sin·cos＝2sin. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，y′＝·(2x＋5)′＝. 变式练习2．求下列复合函数的导数： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln ；(3)y＝；(4)y＝x . 解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x. (2)y′＝(ln )′＝·( )′＝·(x2＋1)·(x2＋1)′＝. (3)设u＝1－3x，y＝u－4.则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)＝. (4)y′＝(x )′＝x′·＋x′＝＋＝ . 归纳1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系． 能力升华 例1、　(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________． (2)已知曲线y＝x3＋.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程． [解答]　(1)y＝，y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(－2,2)， 在点P