初二讲义：勾股定理.docVIP

初二数学讲义 勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 　用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：，，化简可证． （方法二（方法三） 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为所以方法三：，，化简得证３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在中，，则，， ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股数 　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数： 　（为正整数）；　　（为正整数） （，为正整数） 中，． 　⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长 分析：直接应用勾股定理 考点一、已知两边求第三边 例．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积． 练习一 1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________． 2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段 楼梯所铺地毯的长度应为 ． 3．在数轴上作出表示的点． 4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC 题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在中，，，，于，＝　　　　 ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　 ⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　　 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 例３.如图中，，，，，求的长 例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 考点二、利用列方程求线段的长 例．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 练习二 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？ 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　 题型四：与展开图有关的计算 例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm 题型五：勾股定理的实际应用到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 练习.如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 勾股定理提高训练（一） 1、在中,若直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 2已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ). A．4cm