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“ ” “ ” 24.2 直角三角形的性质 知识回顾 （1）直角三角形的两个锐角_________. 互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其他性质 知识探索 做一做 画一个Rt?ABC，并画出斜边AB的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系？ A B C ∟ D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 是不是所有直角三角形都有这样结论？ A B C ∟ D 【证明】 思路引导： 中线辅助线作法：将中线延长一倍. 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE. E ∵ CD是斜边AB的中线， ∴ AD=BD. 又∵ DE=CD， ∴四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90?， ∴四边形ACBE是矩形， ∴ CE=AB. 知识概括 知识点1 直角三角形性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A B C ∟ D 符号表示 在Rt?ABC中，如果CD是斜边AB的中线， 那 么 ?BCD为等腰三角形 ?ACD为等腰三角形 例题解析 例1 如图，在Rt?ABC中， ∠ACB=90?，CD是AB边上的中线. 已知∠A=30?，求∠CDB的度数； B A C D 【解】 ∟ ∵ ∠ACB=90?， CD是AB边上的中线， ∴ DA=DC， ∴∠ACD= ∠A=30?. ∴∠CDB=∠ACD+ ∠A=60?. 对应练习 【解】 由勾股定理，可得斜边长为： 所以，斜边上中线的长为： 2.如图，∠ABC=∠ADC=90?，E是AC的中点，则( ) A. ∠1∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1∠2 D. ∠1与∠2 的大小关系不能确定 1 2 B A C D E B 例2 B A C ∟ 30? 思路引导： 斜边AB的中线 ∴作AB边的中线CD,则CD=___________. D 这样以来，只需证明CD=__________. BC 【证明】 取AB的中点D,连结CD, ∵ ∠ACB=90?， 直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半 又∠A=30?， ∴∠B=60?， ∴?BCD是等边三角形 知识概括 知识点2 直角三角形性质4 B A C ∟ 30? 直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半. 这两个性质常用来进行直角三角形中线段和角度的计算和涉及线段倍分的证明. 例3 如图，在?ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，D是BE中点，连结AD.∠BAC=120?，AD=3cm，求BC的长. ∟ B A C D E 思路引导： ∠BAC=120? AB=AC ∠B=∠C=30? AE⊥AB D为BE中点 BD=DE=AD=3 AE⊥AB ∠B=30? AE=BD=DE=3 ?ADE为等边三角形 ∠AED=60? ∠CAE=30? ∠CAE=∠C=30? CE=AE=3 如图，在?ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，D是BE中点，连结AD.∠BAC=120?，AD=3cm，求BC的长. ∟ B A C D E 【解】 ∵ ∠BAC=120?，AB=AC， ∴ ∠B=∠C=30?. 又∵ AE⊥AB， D是BE中点， ∴ BD=DE=AD=3( ), 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ∴ AE=BD=DE=3( ), 直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半 ∴ AE=AD=DE=3, ∴ ?ADE为等边三角形, ∴ ∠AED=60?. 又∵ ∠C=30?, ∴ ∠CAE= ∠C=30?. ∴ CE=AE=3. ∴BC=CE+DE+BD=9(cm). 本题可改为证明：BD=DE=CE 对应练习 A O B 北 东 60? 思路引导： D 实际上，本题是计算AD的长. 【解】 过点A作AD⊥OB，则 ∠AOD=______________. ∴ AD=____________( ). 直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半 ∴ AD20， ∴ 该船没有触礁的危险. 2.(课本104页练习3)如图，自动扶梯AB的倾斜角为30?，大厅两层之间的距离BC为6米，你能算出自动扶梯AB的长吗？ A B C 30? 6 【解】 ∵BC⊥AC,∠A=30?， ∴AB=2BC=12(米). (2013宜宾)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的