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离散数学基础 离散数学基础 2017-11-17 • 定义：命题逻辑等值式 − 给定两个命题公式 A 、B，设  p , p ,  p 为所有出现于 A 、B  中的命题变量。 1 2 …… n  若对  p , p ,  p 中的任何一组逻辑解释，A 和  B  的真值都相同，则称 A 、B   1 2 …… n  是等值的或逻辑相等的。记为 A ⇔ B。  − p , p ,  p 的所有逻辑解释总数为 2n  个。  1 2 …… n  • 定义：命题逻辑等值式 − 若两个命题公式 A 、B 在任意的真值赋值函数 t : Var→{0,1}  下取得相同的真 值，则称 A 、B  是等值的（或逻辑相等的）。记为 A ⇔ B。 上述定义是前一个定义的等价定义， 利用了之前定义复合语句的真值时引用的真值 赋值函数 t 。我们马上意识到，使用真值表可以判断两个逻辑公式的等值性。  • 定义：命题逻辑等值式 − 例：证明 ¬p∨q ⇔ p→q p q ¬p ¬p∨q p→q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 在每个解释下， ¬p∨q 和  p→q  取相同的真值，  所以是一对等值式  • 等值的基本性质 − 对公式 A 、B、C ，按照等值的定义显然有： » A ⇔ A ； （自反性） » 若 A ⇔ B 则  B ⇔ A ； （对称性） » 若 A ⇔ B 且  B ⇔ C 则 A ⇔ C 。（传递性） − 具有自反性、对称性和传递性的关系称为等价关系。所以命题逻辑公式的等值 性通常也称为等价性。 • 定理：等值定理 − 设命题公式 A 、B，则 A ⇔ B iff A↔B  是重言式。  − 证：    ⇒ 若 A ⇔ B，则 A  与  B 在任意解释下都有相同的真值。由“↔”的定义，A↔B 只能取值1， 即 A↔B 是重言式。    ⇐ 若 A↔B 只取值1，由“↔”的真值表， A  与  B 在任意解释下都有相同的真值。由“⇔”的 定义，有 A ⇔ B。  − 定理给出验证两个命题公式相等的一种基本方法。  • 命题逻辑的等值演算  − 当命题公式所含的命题变量个数较多时，使用真值表方法判断公式的等价性有 困难。  − 等值演算以一些基本的等值式（也称为命题定律）为基础，利用等值演算规则 对公式进行变形，从而保持变形前后公式的等价性。等值演算给出了验证两个 命题公式相等的另外一种基本方法。  • 定理：基本的等价公式（命题定律16条）  − 设有命题公式 A, B, C ，则下述等值性成立：    (1) 双重否定律：¬¬A ⇔ A    (2) 幂等律： A∨A ⇔ A ，A∧A ⇔ A    (3) 交换律： A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A    (4) 结合律：  (A∨B)∨C⇔ A∨(B∨C) ，(A∧B)∧C⇔ A∧(B∧C)    (5)  分配律：A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C)               A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)    (6)  吸收律：A∧(A∨B) ⇔ A               A∨(A∧B) ⇔ A    (7) 德‐摩根律：¬(A∨B) ⇔ ¬A∧¬B                    ¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B    (8) 零律