线性代数 投入产出数学模型.pptVIP

第六节 应用(二) 投入产出数学模型 完全消耗系数 实物型投入产出数学模型 投入产出分析也称为投入产出法或投入产出技 术. 这一方法是美国经济学家 W · 列昂节夫 (Leontief) 于 20 世纪 30 年代首先提出的. 他利用线 性代数的理论和方法，研究一个经济系统 (企业、地 区、国家等) 的各部门之间错综复杂的联系，建立起 相应的数学模型，用于经济分析和预测. 目前，这一 方法已在世界各国广泛应用. 一、投入产出数学模型 考虑一个具有 n 个部门的经济系统，各部门分 别称为部门 1，部门 2，… , 部门 n . 并假设 1. 部门 i 仅生产一种产品 i (称为部门 i 的产出) 不同部门的产品不能相互替代. 由这一假设可以看出，部门与产出之间是一一 对应的. 2. 部门 i 在生产过程中至少需要消耗另一部门 j 的产品(称为部门 j 对部门 i 的投入)，并且消耗的各 部门产品的投入量与该部门的总产量成正比. 利用某一年的统计资料，可以先编制投入产出 表，并建立相应的数学模型－投入产出模型. 投入产 出模型按计量单位的不同，可分为价值型和实物型. 在价值型模型中，各部门的产出、投入均以货币单 位表示； 在实物型模型中，则按各产品的实物单位 (如吨、米等)为单位. 我们先讨论价值型投入产出模 型. 先首，我们利用某年的经济统计数据，编制投 入产出表 其中 xi = 部门 i 的总产量 ( i = 1, 2 , … , n ) . xij = 部门 j 在生产过程中需消耗部门 i 产品数量 xij ? 0 (i , j = 1, 2 , … , n ) 也称为部门间的流量. yi = 部门 i 的总产量 xi 扣除用于其他各部门(包 括本部门) 的生产消耗后的余量(用于社会积累和消 费) . yi 亦称部门 i 的最终产出 ( i = 1, 2 , … , n ) . zj = 部门 j 的新创价值 ( j = 1, 2 , … , n ) . 它是 部门 j 的劳动报酬 Vj (工资、奖金及其他劳动收入) 与纯收入 mj (税金、利润等) 的总和. 可以分为四个部分(象限) I II III IV (其中第IV部分在表中略) . 在第 I 象限中，第 i 行表 明部门 i 作为生产部门，其产品在提供给其他各部门 的消耗数量； 第 j 列表明部门 j 在生产过程中消耗其 他部门产品的数量. 在第 II 象限中，第 i 行表明部 门 i 的产出作为最终产品用于积累、消费等情况. 在第 III 象限中，第 j 列表明部门 j 的新创造价值; 各行则反映了各部门新创造价值的构成. 第 IV 象限 反映了非生产单位通过国民收入再分配所形成的收 入，一般不编制表的这一部分. 新创造价值 表 4.1 价值型投入产出表 中　间　产　出 部门 … 部门 … 部门 1 j n 部门1 部门2 部门n … x11 … x1j … x1n x21 … x2j … x2n xn1 … xnj … xnn … … … 物 质 消 耗 合计 … 合计 … … 报酬 纯收入 合计 总投入 V1 … Vj … Vn m1 … mj … mn z1 … zj … zn x1 … xj … xn 最 终 产 出 积累 消费 … 合计 总产出 k1 k2 kn … W1 W2 Wn … y1 y2 yn … x1 x2 xn … 产 出 部 门 间 流 量 投 入 根据 的第 I、II 象限，可得平衡关系 式 (总产出 = 中间产出 + 最终产品) 根据 的第 I、III 象限，可得平衡关系 式 (总投入 = 物质消耗 + 新创造价值) 一般，称 (4.22) 为产品分配平衡方程组，称 (4.23) 为产值构成平衡方程组. 由前述的假设条件 2，记 aij 表示生产单位产品 j 所需直接消耗产品 i 的数量. 一般称之为直接消耗系数，或技术系数. 由 (4.24) 可 得 把 代入 得 即 记 则上述方程组可写成矩阵形式 X = AX + Y，或 ( E – A )X = Y (4.26) 矩阵 A 称为直接消耗系数矩阵，X 称为总产出 向量，Y 称为最终需求向量. 把 代入 得 即 记 则 (4.27) 可写成矩阵形式　X = DX + Z ，或 ( E – D )X = Z (4.28) 其中 Z 也称为新创价值向量. 方程组 ( E –