大海捞针-指定形状的.docVIP

臺北市第三七屆中小學科學展覽會作品說明書封面 科別：數學科 組別：M6 作品名稱：大海撈針 關鍵詞：最小內接三角形與最小外接三角形 編號： 一、摘要 在一般的三角形內部存在著六個特殊的點，從這些點對母三角形作垂足三角形，所得垂足三角形都會與我最初指定的三角形相似，而只要在這六個垂足三角形中選取最小的，則那個三角形即為與指定三角形相似的所有內接三角形中最小的。 這六個特殊點分別是六群邊、角、擺放方位不同的內接相似三角形的軸心點，我稱呼它為各該群內接相似三角形的旋轉中心。且這六個旋轉中心都共圓無論指定的三角形是否與母三角形相似。 當指定的三角形為等腰三角形時，六個旋轉中心分別合成三個點，進一步的，當指定的三角形為正三角形時，六個旋轉中心合成一個點，利用這個特性我可以輕易的作出任意三角形的「內接」最小正三角形。 操作最小內接三角形策略是： 將指定三角形的最大角對向母三角形的最小角 將一、中最大角兩夾邊中的較長邊對向母三角形另外兩內角中的較小角。 將合乎一、二、條件方位的內接三角形約略的畫出來，再利用垂線△作圖法找出此方位三角形的旋轉中心 由此旋轉中心，作垂足三角形即為所求。 只要將指定三角形改成正△即可操作出最小內接正三角形了！ 在母三角形三邊的延長線上各取一點所形成的三角形叫─「外接」三角形，若指定的三角形與母三角形相似，則只能找到五個旋轉中心，這五個旋轉中心所做的垂足三角形，也必與母三角形相似，比較這五個垂足三角形，即可得到外接最小的相似三角形，最特別的是這五個旋轉中心排成一直線。 又若指定的三角形不與母三角形相似，則可以找到六個旋轉中心，這六個旋轉中心的垂足三角形是與指定的三角形相似，但不與母三角形相似，同樣的選取其中最小的即為最小外接三角形。更特別的是，這六個旋轉中心又共圓。 當指定的三角形為等腰三角形時，六個旋轉中心分別結合成三個點，而當指定的三角形為正三角形時，六個旋轉中心合成一個點，利用這個特性我可以輕易的作出任意三角形的「外接」最小正三角形。 操作最小外接三角形的策略是： 作母三角形的外接圓，當反演圓。 按操作最小內接三角形的策略，找到其旋轉中心。 將二、之旋轉中心，對反演圓作出對應的反演點。 由此反演點，作垂足三角形，即為所求。 只要將指定Δ改成正Δ即可作出外接最小正三角形了！ 大　　　海　　　撈　　　針 與標的三角形相似的最小內接三角形及最小外接三角形定位策略探討 二、研究動機： 在三角形的三邊上各取一點，可造成形形色色、各種各類、成千上萬的內接三角形，若將彼此相似的稱為同家族，試問各家族的成員中，個子最小的都躲藏在哪裡呢？那麼多不同的家族，一定各有各的小個兒三角形，這無限多個小個兒三角形是否是凌亂的分散在各處？還是有什麼線索可以推敲它的位置？ 為了讓大家更能了解問題的核心，我舉例簡述一個問題如下：問題：若ΔDEF為一個自由給定的標的三角形，如下圖(1)，設ΔD’E’F’為母ΔABC的一個內接三角形，且ΔD’E’F’~ΔDEF，顯而易見的，這種ΔD’E’F’有無限多個，試問最小的內接ΔD’E’F’產生於何處？ 甚至以前的研究者經常在找尋一種求作內接最小正Δ的方法，若我把標的Δ控制成正Δ，這內接最小正Δ是不是會如甕中捉鱉一般，輕而易舉的被捉到了呢？ 三、研究目的： 在任意三角形中，建立一套可以將與任一指定形狀的三角形相似的內接三 角形分類的方法 在各類內接三角形中，導出判定最小內接三角形產生位置的策略及作圖方法 在各類外接三角形中，導出判定最小外接三角形產生位置的策略及作圖方法 四、研究設備及器材：GSP動態幾何作圖系統、WORD、直尺、圓規。 五、研究過程或方法： 在國中時有關三角形的內心、外心、重心的作圖探討中，有一個很有趣的題目，就是判斷正三角形的內心、外心、重心的位置，除了這三個心共點之外，我發現它的很多內接三角形也都共用這個心，如圖(2)。這些內接正三角形似乎是連續且成群的靠在一起，而共用的心像是 它們的旋轉中心，在這群內接正三角形中，以三邊中點D、E、F所形成的正△DEF是最小的內接正三角形，並且明顯的看出，，而P點到其他內接正三角形的頂點都不垂直各對應邊。 上述現象引發出幾個疑問，一、若外面這△ABC變成其他形狀的三角形，這旋轉中心還存在嗎？若存在又要怎樣去找呢？二、從這旋轉中心向各邊作垂線所形成的垂足三角形也是正三角形嗎？又它仍是最小的嗎？三、若將內接正三角形改成其他形狀的三角形，上述情況是否又會出現？ 我認為這個問題基本上應該先從如何在△ABC的邊上一點利用尺規畫出內接相似三角形開始著手，且先探討△DEF與△ABC相似這特例，再進一步探討與△ABC不相似的通例，以下即為我的研究。 PART1：以原三角形為標的三角形。 以原三角形為標的三角形的意思就是要讓作出來的內接三角形與原三