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第八章;在普通交易日的每一瞬时时刻，都存在三种状态：价格上涨，价格下跌或者价格不变。流动性工具在一个极小的时间区间极少发生变化。然而，金融市场经常会发生一些极端行为。 区别稀有事件与普通事件是看所考察区间上发生变化的规模和概率。当观察区间越来越小时，普通事件的规模也越来越小，而稀有时间虽然概率变小，而规模却不会变小。;?;维纳过程;定义： 针对信息集合簇{It}的维纳过程Wt是满足如下条件的随机过程： 1.Wt是初值为W0=0的平方可积鞅，且： E[(Wt-Ws)2]=t-s , s≤t 2.Wt的轨道是t的连续函数。;这个定义说明维纳过程具有如下性质： 1.Wt的增量不相关，因为他是鞅，每个鞅具有不可测的增量。 2.Wt具有零均值，因为它的起点是0，每个增量的均值也为0. 3.Wt的方差为t. 4. 过程连续，也就是说，在一个无穷小的时间区间上，Wt的运动也是无穷小。;维纳过程和???朗运动;定义：随机过程Bt(t∈[0,T])是一个标准的布朗运动，如果 1.过程的起点是0，即B0=0. 2.Bt具有平稳的独立增量。 3.Bt关于t连续。 4.增量Bt-Bs服从正态分布，均值为0，方差为|t-s| (Bt-Bs)～N(0,|t-s|);这个定义与维纳过程在多方面相似。然而两者之间有一个关键性差异：Wt要假设成鞅，而Bt则没有这样的假设，而是假设服从正态分布。 事实上，有如下定理： 相对于簇{It}的任何维纳过程Wt都是布朗运动。因此维纳过程和布朗运动这两个概念可以交替使用。;泊松过程;可以将Nt视为泊松过程，假设这些事件在dt中发生的概率为λ，如下定义中的过程 Mt=Nt- λt 是不连续的平方可积鞅。 注意到对上面的过程： E(Mt)=0 E[Mt]2=λt 尽管Mt的轨道不连续，但Mt和Wt的一阶矩和二阶矩有着相同的特征。 ;当时间区间趋于0的时候，有维纳过程所表示的价格变化会越来越小。在这种意义下，维纳过称不适合对这种情形进行表示。在极端的时间区间，价格会议极端的方式进行运动。 我们需要的是一个在极端事件区间能产生大事件的扰动项，也就是，一个有跳跃的过程。;正常事件和稀有事件的刻画;?;?;?;?;?;?;;事件的大小和发生的概率都依赖于时间区间长度h，当h越来越大时，价格变化的大小和概率都会增大。 为了对稀有和正常事件刻画，我们使用参数ri和qi。这两个参数都是非负参数。当所观察到的区间越来越小时， ri决定了规模趋近于零的速度，qi决定了概率趋近于零的速度。;?;因此参数qi和ri满足如下条件： 0≤ri≤0.5 0≤qi≤1 事实上，我们会发现， 当ri=0.5,qi=0时，描述的是正常事件。 当ri=0,qi=1时，描述的是稀有事件。 ;正常事件;当区间长度h越来越小时，ri=0.5所对应的事件大小会越来越小。另一方面，他们发生的概率不依赖于h。当区间越来越小时，这些结果很小但发生概率为常数的的事件，是“普通”事件。 现在假设△Wk所有可能结果都属于这种类型，且ri=0.5.因此，过程Wt的样本路径具有一些有趣的性质。;连续路径;?;样本路径的光滑性;?;?;稀有事件;样本路径;对于ri和qi的其他值而言，也就是说， 0ri1/2 0qi1 那么过程Wt又是什么情形呢？ 可以证明，只要0ri1/2,那么ωi的大小是h的函数，当h趋于零时， ωi也趋于零。从大小上看，他们并不是稀有事件。其样本路径连续但并不光滑。 ;稀有事件模型;在长度h的区间上，我们有： Sk-Sk-1=a(Sk-1,k)h+σ(Sk-1,k)△Wk 当h越来越小时，就得到了无穷小区间所对应的连续版本： dSt=a(St,t)dt+σ(St,t)dWt 我们需要的是一个能刻画不可预测的随机误差dWt的模型。;?;令△Nk= Nk-Nk-1 这样的△Nk表示以常数速度λ发生的幅度为1的跳跃。显然，Nk可以用泊松计算过程进行建模。然而，有两个问题需要考虑。 首先，资产价格跳跃发生率随时间会发生变化，而泊松过程为常数。 其次，Nt的增量具有非零均值，SDE方法涉及的只是均值为0的干扰项。因此需进行修正。;考虑修正后的变量： Jt=(Nt-λt) 增量△Jt的均值为0且不可预测。此外，如果将Jt乘以某个事件依赖性的常数，比方说 σ2(Sk-1,k).跳跃大小就具有时间依赖性，因此σ2(Sk-1,k)△Jt就可以表示资产价格中不可预料的跳跃。;这意味着，如果金融工具受零星稀有事件影响，那么随机微分方程可以写成： Sk-Sk-1=a(Sk-1,k)h+σ1(Sk-1,k)△Wk +σ2(Sk-1,k)△Jk ,k=1,2…n 当h越来越小时，上式就变为 dSt=a(St,t)dt+σ1(St,t)dWt +σ