重积分的概念和性质(北工大).pptVIP

一、曲顶柱体的体积 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、二重积分的计算 五、二重积分的换元 六、曲面的面积 * * 柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 一．曲顶柱体的体积 曲顶柱体 求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限。 步骤如下： 1. 分割 把R任意分成n个小区域 其中　　表示 第k个小区域，设其面积为 对应的小曲顶柱体体积为 2.取近似 在每个小区域 上任取一点 ,则 此分法记为　　． 3. 求和 4. 取极限 设n个小区域的直径分别为 称　是曲顶柱体的体积． 二、二重积分的概念 １定义 设 是有界闭区域R上的有界函数, 任意分法T将闭区域R分成n个小闭区域： 设 表示第k个小闭区域 的面积，在每个 上任取一点 作乘积 并作和 令 如果当 和式的存在极限　，记为 则称此函数　　　　在闭区域R上可积． 有 　是二元函数　　　在R的二重积分，记为 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 面积微元 曲顶柱体的体积 ２．大和，小和，振幅的定义 设　　与　　分别是函数　　　　在　　的 上确界与下确界，则 小和 大和 振幅 ３．二重积分存在的充分必要条件 定理1　函数 在有界闭区域R可积 证明 已知函数 在R可积，设二 重积分是I,即 有 或 又已知小和　　与大和　　　分别是积分和 在R的下确界与上确界． 或 则 设 有 由已知条件，当　　　　时，有 设　　　　　　　，有　　　　　　　　 由已知 对积分和 有 由上面两个不等式，　　有 可得 即函数　　　 在有界闭区域R可积． 定理2　若函数 在有界闭区域R内 连续，则函数　　　　在R可积。 证明 由连续函数的性质,函数 在R一致连续，即 有 （　表示　的面积） 将R分成n个小闭区域 函数　　　　在　　必能取 到最大值　　与最小值　　， 即存在两点 使 与 则 有 函数　　　　在R可积． 定理3　若函数 在有界闭区域R内 则函数　　　　在R可积。 有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上, ４．二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 当 k 为常数时，