线性代数六一节次型的基本概念.pptVIP

二次型的表示方法 * * 在平面解析几何中,为了便于研究中心在坐标原点的二次有心曲线 (1) 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 (2) 问题的提出 把方程化为标准形: (3) 从这个标准形，我们可以很容易地识别曲线的类型，研究曲线的性质. 在空间解析几何中，二次曲面也有类似的问题. 这类问题，在许多理论问题或实际问题中经常会碰到.可以应用与解析几何中对二次曲线（面）的讨论、概率论、物理及力学中的一类极值问题、及二次型最优控制等。 从代数学的观点看,化标准形的过程就是通过变量的坐标变换化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项(称作平方和). 我们的问题就是：含n个变量的二次齐次多项式，如何化为只含有平方项的标准形式？ 二次型的定义 称为 n 元二次型. 定义 含有n个变量 的二次齐次多项式 定义在复数域上的称复二次型 定义在实数域上的称实二次型 为实数 为复数 把二次型的项按照顺序写出来： 1．用和号表示 取 则 1．用和号表示 二次型的表示方法 2．用矩阵表示 这种表示法是唯一的 2．用矩阵表示 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 例1 将二次型写成矩阵形式 二次型的变量替换 定义 设变量 能用变量 线性表示，即 称为从变量 到变量 的线性变换,其中 为常数. 称为线性变换的系数矩阵. 将线性变换写为矩阵形式为： *