线性代数二矩阵.pptVIP

同理.可证1,3 4 矩阵的转置 定义 转置 例 性质 证明4o：(i) 推广： 容易验证左右两边矩阵的大小相等。 现证左右两边矩阵的元素对应相等。 例： 可能无意义 注意： 第三节 方阵的行列式 与逆矩阵 一、方阵的行列式 定义：n阶方阵A的各个元素按原来的位置排列构成的行列式称为方阵A的行列式。 记做： 性质： （1） （2） （3） 定义： 设A是n阶方阵，k为正整数，定义 性质： 但是，一般地 补： 方阵的幂 与数的方幂同 与数的方幂不同 —A的k次幂 —n阶单位矩阵 例： 可得 问： 这就是这一节要介绍的逆矩阵，它在矩阵理论和 应用中有极其重要的作用。 引言： 二、逆矩阵 定义 设A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵B，使得： 则称A是可逆矩阵，简称A可逆， 并称B是A的逆矩阵。 逆矩阵的概念 定理1 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。 证明:(同一法 ) 设A有两个逆矩阵B和B1，即 则 故可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。 并记为： 有 定义 称A为非奇异矩阵； 称A为奇异矩阵. n阶阵A, 定义 A的伴随矩阵 求逆矩阵的方法一（伴随阵法） 定理2 证 同理可证 BA=I。 故 A可逆，且 例 步骤： 1. 判别A是否可逆 2. 若可逆，求逆矩阵 解 所以A可逆 于是得 类似得 * 第二章 矩阵 . 矩阵的概念 . 矩阵的运算 . 方阵的行列式与逆矩阵 . 矩阵分块法 矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。矩阵在控制理论、经济管理、线性规划等领域中也有广泛应用。 事实上，矩阵最初就是为解决线性方程组而产生的，因此，矩阵的许多运算和性质来源于线性方程组，学习时可对照线性方程组来理解。 概述：矩阵的重要性 §2.1 矩阵的概念 例 线性方程组 未知量的系数可排成一个矩形阵列： 未知量的系数与常数项可排成一个矩形阵列： 有无解，由未知量系数和常数项决定。 对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。 一、 矩阵的概念 例 四种产品，四个季度的产值也可用 一个矩形阵列（或矩形表）来描述： 季 度 产 值 从该矩形表上可以看出产值的变化规律。 矩阵的定义 定义2.1 由 个数排成的 m 行 n 列数表（阵列） 称为一个 m 行 n 列矩阵，简称为 矩阵，其中 表示第 i 行第 j 列处的元素，i 称为的行指标，j 称为列指标。 矩阵的记法 (1) A，B，C，...... (2) ， ， ，...... (3) ， 例： (小括号和中括号是矩阵的标志性符号) 二、几种特殊矩阵 ? 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 例 ? 行（列）阵： ? 当m=n时，称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵。 例如 是三阶矩阵 一 阶（m=n=1)矩阵就是一个数。 另外： ? 非负矩阵： ? A 的负矩阵： 对角矩阵 例如 性质 （1）A,B为n阶对角阵，k为常数 即 数量矩阵 性质： 单位矩阵 或记为E 性质： n阶矩阵与同阶单位阵可以交换 三角矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 性质: A、B是同阶、同型的三角形矩阵 ? kA, A+B, AB 仍是同阶同型三角形矩阵。 对称矩阵 例： 是反对称阵 性质： A 是对称阵 A是反对称阵 三、矩阵应用实例P28 例2 通路问题 例1 线性方程组的系数矩阵 例3 原子矩阵 1. 矩阵的加法 定义2.3 设矩阵 与 是两个 矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的 矩阵： 则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作C=A+B. 例 由负矩阵可定义矩阵减法 ： 设A、B为同型矩阵，则A与B的差，即矩阵减法： 2. 矩阵的数乘 定义2.4 设 是一个 矩阵， k 是一个常数，则称矩阵 为矩阵A与数 k 的乘积(矩阵的数乘)，记为 kA. 例 线性运算的八大性质（运算律） 设A、B、C、O为同型矩阵，k，l 为数，则有 加法 数乘 例 已知 解 3 矩阵的乘法 例 工厂 产量 ⅠⅡⅢⅣ 产品 甲 乙