线性代数一三节.pptVIP

第三节 n 阶行列式的定义 三阶行列式的定义 主要内容 n 阶行列式的定义 举例 一、 三阶行列式的定义 为了给出 n 阶行列式的定义,先来研究三阶行 列式的结构. 三阶行列式的定义为: 任一项除正负号外可写成 个下标(行标)排成标准排列 123 , 而第二个下标 容易看出: (1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘 积,这三个元素位于不同的行、不同的列． 因此， 这里第一 (列标)排成 p1p2p3 ,它是1，2，3这三个数的某个 有６项． (2) 各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列：123 , 231 , 312 ; (为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321. (为奇排列)． 故三阶行列式可以写成 排列． 这样的排列共有 3!=６种，故上式右端共 其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数，? 表示对1，2， 到一般的情形，得到 n 阶行列式的定义． 类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广 3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和． 二、 n 阶行列式的定义 定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表 冠以符号(-1)t，得到形如 作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并 an1 an2 … ann ………... a21 a22 … a2n a11 a12 … a1n 的项，其中 p1p2 ··· pn 为自然数1，2，··· ，n 的一 称为 n 阶行列式，记作 数和 共有n! 个，因而共有 n! 项． 所有这 n! 项的代 个排列，t 为这个排列的逆序数． 由于这样的排列 简记作 det(aij)，其中数 aij 为行列式 D 的（i,j） 元. 这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线 法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的. 三、 举例 例 5 证明 n 阶行列式(其中主、副对角线 上的元素是 ? i , 未写出的元素都是０)