积分变换第一章初步.pptVIP

特别地： （1） ------Fourier变换 （2） ------Laplace变换 应用： 在电力工程，电路分析，信号分析和图 像处理，通信控制，语音识别与合成等领域 有广泛应用。 成绩计算： 总评成绩=0.3平时成绩+0.7期末成绩 平时成绩=作业（40分）+考勤（60分） （作业少一次扣3分，考勤缺一次扣4分） 将上两式带入Fourier级数表达式，并整理，级数可变 为 即为Fourier级数的复指数形式。 这就说明当T??时, 周期函数 便可转化为f(t)， 即有 由定积分定义可得 即 ------Fourier积分公式. 2. Fourier积分存在定理 定理：若f(t)满足： （1）在任何有限区间上满足Dirichlet条件； （2）在 上绝对可积； 则 注： 若f(t)为奇函数，可得f(t)的Fourier正弦积分公式： 若f(t)为偶函数，可得f(t)的Fourier余弦积分公式： 本节重点 4.重要题型 （1）求函数的Fourier积分表达式（正弦余弦积分 表达式） （2）证明积分等式 解 （2） （3） （4）若f (t)无穷次可微，则 设非周期函数f(t)满足Fourier积分定理的条件. 本节重点 1. Fourier变换 逆变换的公式，Fourier正弦、余弦变换及逆变换的公式； 2. 单位脉冲函数的定义和性质； 3. 记住常用结论： 4. 频谱函数与频谱的概念及计算公式。 §1.3 Fourier变换的性质 一 线性性质 二 位移性质 三 微分性质 四 积分性质 二 位移性质 三 微分性质  如果f(t)在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, f(t)?0, 则 [f (t)]=jwF [f(t)]. 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 [f(t)]=F(w), 则 四 积分性质 例3 求微分积分方程 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及 积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化 为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变 换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅 氏变换还是求解数学物理方程的方法之一。 性质小结: 若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w) §1.4 卷积与卷积定理 一 卷积的概念 二 卷积的性质 三 卷积定理 二 卷积的性质 2. 结合律 4. 数乘 三 卷积定理 例1 若 由卷积的定义有 §1.5 Fourier变换的应用 本节主要介绍Fourier变换在求解微积分 方程中的应用. 线性系统： 可用一个线性的微分、积分（或偏微分） 方程表示的系统. 线性系统在振动力学，电工学，无线电 技术，自动控制理论及其他工程技术领域中 有广泛应用。 例1 求解积分方程： （1） （2） 其中 为已知函数,且 的Fourier变换存在. 例2 求解常系数非齐次线性微分方程： 其中 为已知函数. 例3 求解微分积分方程： 其中 为已知函数， 为已 知常数. 求f(t)的Fourier积分. 2. 3. 4. 5. 已知f(t)的Fourier变换 ，求g(t)的Fourier变换,其中 （1） （2） 一 线性性质