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* 第四章 静电场中的导体 （Conductor in Electrostatic Field） △§4.1 导体的静电平衡条件 §4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律 △§4.3 有导体存在时静电场的分析与计算 §4.4 静电场的唯一性定理、静电屏蔽、电像法 前言 （书4.4、4.5节） △§4.1 导体的静电平衡条件 (electrostatic equilibrium of conductor） E内= 0 静电平衡时的导体 等势体 E表 等势面 接地 (ground) ： q1 q2 大 地（等势体） （等势区） 无限远 取得与无限远相同的电势 ? 表面 前言： 为什么要研究导体 （通常取为零）。 （影响电场、 设计电场） §4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律 一.导体静电平衡时电荷分布在表面 1.实心导体： ?内=0 S ? S 是任意的。 令S→ 0，则必有? 内 = 0。 V 理由： ?外 E内 ?内 S内 2.导体壳： S ?外可不为零，但?内 和 E内必为零。 理由： 在导体中包围空腔选取 若?内 ? 0，则?内必有正负 与导体静电平衡矛盾 E线从正电荷到负电荷 只能?内 =0，且腔内无E线 = 0 = 0 只能 E内 = 0。 高斯面S ， 则： ?外 q内表 E内 ?内 q ? 0 ? 0 3.导体壳内有电荷： ?外可不为0，但必有?内 ? 0， 理由： 在导体中包围空腔做高斯 =-q S 面S ， 则： 二. 表面场强与面电荷密度的关系 (高） 是小柱体内电荷的贡献还是导体表 从推导中的哪一步可看出？ 思考 面全部电荷的贡献？ 导体 小扁柱体 表面为 S 三. 孤立导体表面电荷分布的特点 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大， 但不存在单一函数关系。 尖端放电（point discharge）： 带电的尖端电场强，使附近的空气电离， 因而产生放电。 空气中的直流高压放电： 闪电： 雷击大桥 遭雷击后的草地 俘获闪电： 激光束引起空气电离，使闪电改道 Z形通道 被迫冲向云层 演示 ? 带电导体空腔外表面带电，内表面不带电； ? 尖端放电 ? 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大也大； 电风轮 电风“吹”蜡烛 ?0 △§4.3 有导体存在时静电场的分析与计算 依据： [例] 静电平衡条件， ?1 ?2 求：导体板两表面的面电荷密度。 解: 设导体电荷密度为 ? 1、? 2 ， 电荷守恒： 导体内场强为零：　 电荷守恒， 高斯定理。 E２ E１ ? E0 (2) （1）、（2）解得： 平行放置一大的不带电导体平板。 面电荷密度为?0 的均匀带电大平板旁， 已知： ?1 + ?2 = 0 (1) E0 +E1‐E2 = 0 思考 ?0 2 ?0 0 （B） -?0 ?0 0 （C） -?0 2 ?0 0 （A） 下面结果哪个正确? 若上面例题中导体板接地， §4.4 静电场唯一性定理 静电屏蔽 电像法 —— 区域求解问题： 如何通过边界条件反映未 知的域外电荷对域内场的影响呢？ 问题的提出 由 知， 若要求 得 知道全空间的电荷分布。 但是有时我们只知道 某个域内的电荷分布 域内的电场情况。 对域外情况并不清楚。 和域边界上的某些情况， 必须 而且我们也仅仅关心 这就是 静电场的唯一性定理所要解决的问题。 一. 唯一性定理（uniqueness theorem） 域内的解就是唯一的。 （1）给定各边界上的电势分布； 边界面的电通量 （3）一部分边界按条件（1） 给出， 设在给定域内电荷分布确定， 则给定下列边界 条件之一， 这些条件是： （2）已知各边界面均为等势面， 并给定了各闭合 按条件（2）给出 其余边界 （即混合边界条件）。 （通常是给出导体的电量）。 证明： 则对域内任意闭合曲面 S? 有： 令 则对 ? 域 V? S? S1 S2 Si 用反证法。 设域内有两个满足给定条件的 解 ① 即对应于 域内无电荷分布 （S? 可任选） 这说明： 或 —情况（A）； 或 而 线发自一边界，止于另一边界 —情况（B） 下面证明只可能是情况（A），即 ▲ 若按条件（1） 给定： 则 ② ②说明各边界面电势为0 所以，场强、电势皆唯一。 —情况（B）不成立， 故只有情况（A）成立， 即： 电势可不同）， 且边界上不存在? 的极大值 和极小值 只可能 则只可能情况（A）成立， 亦即场强唯一，电势可差一常量(∵没给定)。 即 即各边界的电势相同。 则： ③ ③说明对 而言， 边界都是等势面 （各面 再考虑到 ①， ▲ 若按条件