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* * * 第二章 第二节 唯一性定理 Uniqueness Theorem 本节内容将回答两个问题： （1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一 静电学的基本问题： 求满足边界条件（或给定边界条件）的泊松方程（拉普拉斯方程）的解。 求解微分方程的一种重要方法：尝试解。 尝试解是否唯一正确的解（物理问题的结果只有一个）：唯一性定理来保证。 （试探解，拼凑解－连猜带蒙！） 在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程（拉普拉斯方程）的解。 本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。 静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。 (1)它告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。 (2)对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。 一、静电问题的唯一性定理： 假定所研究的区域为 V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是各向同性线性均匀的，设其区域为 。 每一个区域给定电荷分布 设 内所求电势为 ，它们满足泊松方程 在两区域 、 的交界面上必须满足的边值关系是： 泊松方程或拉普拉斯方程（ 区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定 内电场，必须给出边界条件，在数学上称为给定边值条件的求解问题。 一般边界条件有两类： ① 边界S上， 为已知。若为导体“ = 常数”为已知。 ② 边界S上， 为已知。若是导体要给定总电荷Q。它相当 给定（ ）。 唯一性定理内容： 当区域V内 分布已知， 满足 I) 若V边界上 已知， 或 II)V边界上 已知， 则区域V内场（静电场）唯一确定。 二、特例：有导体存在时的唯一性定理 我们讨论均匀单一介质中有导体， 导体中 ，要求的是导体外区域 中的场。 当给定导体之外区域的自由电荷分布 ?此条件用来确定电势满足的微分方程； 给定边界条件： I) 给定导体上的电势，当 ； 或， II) 给定每个导体上的总电荷（实质上也是给定 ，因为： ）； 则导体外区域内场唯一。 另外，还有多种情形，比如导体外有多种均匀介质，我们不再一一进行讨论。 三、唯一性定理的意义 (1)唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解电场强度指明了方向。 (2)更重要的是，它具有十分重要的实用价值。 无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改后再进行尝试，直到满足泊松方程（拉普拉斯方程）和边界条件。 四、应用举例 [例1] 带电Q的导体球（半径为a ）产生的电势。 解题依据：电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。 [解]： 当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷，因此 它应满足 根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性，其与 坐标无关 。 此题也可用高斯定理（积分形式）求解，用这种方法来解有点“高射炮打蚊子”的感觉，但展示了静电场的求解方法。 有 [例2]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是 与 。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布和空间电势分布 。 Q a [解]： 设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2 ，则 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即 另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯一性定理条件。 (1)自由电荷分布 根据唯一性定理，得到 则得 故 即得到： 电荷面密度为： (2)空间电势分布 外边界为无穷远，电荷分布在有限远 导体上Q给定，所以球外场唯一确定。 对称性分析：若 ，则 。 若 ，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。 但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点 必然 与重合，所以介质分界面上 ，而 在介质分界面上： 所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导