泰勒数和洛朗数.pptVIP

第七讲 泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数; 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式;1. 泰勒(Taylor)展开定理;定理（泰勒展开定理）;D;---(*)得证！;2. 展开式的唯一性;由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。;3. 简单初等函数的泰勒展开式;; 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.;(2)由幂级数逐项求导性质得：;　(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?1.;定理;; 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性; 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？;由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即; 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。;1. 预备知识;2. 双边幂级数;级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。 ;z0; ;3. 函数展开成双边幂级数;证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：;;式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：; ;4. 展开式的唯一性;D; 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法。;例2;例4;解:;;注意首项;(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。;解 (1) 在(最大的)去心邻域; (2) 在(最大的)去心邻域; ; ;作业