洛朗(Laurent)数展开.pptVIP

* * §3.5 洛朗(Laurent)级数展开 已知：当f(z)在圆|z-z0|R内解析时，Taylor定理告诉我们， f(z)可展开成幂级数。 问题的提出 为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。 考虑：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。 一、双边幂级数(含有正、负幂项) 其中 正幂部分称为 解析(正则)部分， 负幂部分称为 主要(无限)部分。 收敛区域(环)的确定： 正则部分 收敛(圆) 区域为： 负幂部分 令 则 设 → 即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。 由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1R2，则双边幂级数处处发散， (2)若R1R2，则双边幂级数就在R2|z-z0|R1环状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。 正则部分 主要部分 收敛环 R2|z-z0|R1 双边幂级数的性质 定理1：双边幂级数 在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环上 一致收敛。 定理2：设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则f(z) (1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。 定理3：设函数f(z)在环状区域R2|z-z0|R1的内 部单值解析，则对于环内任一点z，f(z) 必可展开成 ，其中 称为洛朗系数，C为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线(也可取圆周) 几点说明： (1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但 在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在 奇点)； (2) 洛朗系数 ，因为 成立的条件是f(z)在C内解析； (3) 洛朗展开的唯一性； (4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)，而在去心邻域0|z-z0|ε内解析，则称z=z0是f(z)的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。 泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2|z-z0|R1内的洛朗级数也具有。 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。 求洛朗展开式的系数Cn 洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的， 由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。 例1：在z0=0的邻域上把 展开。 有孤立奇点z=0，并在0|z|∞内有 无负幂项 若定义 则 为f1(z)的泰勒级数 实际是对f(z)的解析延拓 例2：将 分别在区域|z|1、1|z|∞以及z0=1的邻域上展成洛朗级数。 f(z)的奇点为z=±1，展开中心z0=0不是奇 点，z0=1是奇点。 (1)若在|z|1上，只可展开为泰勒级数 (2) 无穷多个负幂项，但z0=0不是f(z)的奇点 (3)展开中心z0=1 ，为奇点 第一项已经是展开式的一项，第二项z=1不是奇点，z=-1是奇点，可在|z-1|2上展开为泰勒级数 有限项负幂项 例3：将函数 在区域|z|1、1|z|2、2|z|∞内展成洛朗级数。 (1)在|z|1内，有|z/2|1 无负幂项，因为f(z)在圆域|z|1内处处解析。 (2)在1|z|2内，有|1/z|1 (3)在2|z|∞内，|z/2|1，有|2/z|1，|1/z|1 无限多项正幂项和负幂项 无正幂项和无