泰勒公式与泰勒数.pptVIP

7.6 泰勒级数及泰勒公式 * 例1 求幂级数 的和函数. 解 先求收敛域。由 的收敛半径R=1。 在端点 处，幂级数成为 ，是收敛的 交错级数；在端点 处，幂级数成为 ，是发散的，因此收敛域为I=[-1，1）。 于是 逐项求导得 故 例2 求和函数 解 收敛域为 记 并求 的和 故 练习：P311,10(4) 上节例题 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 （泰勒系数） 证明 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 例. 若f (x)=sinx可泰勒展开，求其麦克劳林展式 解：因为 在实际应用中（比如数值计算），一般用 泰勒级数的前有限项目去逼近给定函数。 误差用泰勒级数的余项来刻画。 对余项（误差）进行分析 泰勒级数中值定理 泰勒 中值定理： 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : 证明: 阶导数,且 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 *