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§1.5 分块矩阵 矩阵的分块三个着眼点： 1 根据矩阵元素的局部特征； 2 按行或列分块； 3 两个特例： （1）矩阵行与列间均不加线，本身作为子块构成形式上的一阶矩阵； （2)在矩阵的行与列间均加线，此时，每个子块是矩阵的一个元素构成的一阶矩阵。 1.分块矩阵的线性运算 三、小结 思考题 思考题解答 关于分块矩阵的秩有一些显然的性质 （1） （2） 定理1.5.2 （1）设A与B是同型矩阵，则 秩(A+B) 秩（A）+秩(B); (2) 设A是s×n矩阵，B是n×t矩阵，则 秩（AB） 秩(A)+秩(B)-n。 推论 设A是s×n矩阵，B是n×t矩阵。若AB=0，则 秩（A）+秩（B） 一、分块矩阵的运算 定义1.5.1 设A是m×n矩阵，在A的行之间加入s-1条横线 在A的列之间加入t-1条竖线 则A被分成s×t个小矩阵，依次记为 此时，A可写为 把A视为以 为元素的形式上的s×t矩阵， 也称为对A的分块，每个小矩阵 称为A的子块。 称之为分块矩阵， 例 即 即 例 例1 设 解 则 又 于是 例2 其中 其中 例3 设 解 二、分块矩阵的初等变换 定义1.5.2 对分块矩阵 的下述三种变换称为分块初等行（列）变换： （2）用可逆矩阵P左（右）乘A的某一行 （列）全部子块 ?????? （3）A的某一行（列）全部子块左（右）侧乘上矩阵P加到另一行（列）上 ?? （1）互换A的两行（列） 分块初等行变换与分块初等列变换统称为分块初等变换。 把单位矩阵I按如下方式分块 这里 都是单位矩阵。称上述分块矩阵 为分块单位矩阵 定义1.5.3 把分块单位矩阵做一次分块初等变换，所得分块矩阵统称为分块初等矩阵。 分块初等矩阵有如下三种类型 性质1.5.1 分块初等矩阵是满秩矩阵。 定理1.5.1 对一个分块矩阵A做一次分块初等行（列）变换等同于在左（右）侧乘上一个对应的分块矩阵。 推论1 若分块矩阵A经过有限次初等变换化为分块矩阵B，则A相抵于B。 推论2 分块初等变换不改变分块矩阵的秩。 例1.5.4已知分块矩阵 其中A，D均为n阶可逆矩阵。证明T可逆，并求 。 解 对T作分块初等行变换 根据定理1.5.1的推论2，可知 由于T是2n阶方阵，故T满秩，即T可逆。