北航工科数学分析杨小远节函数极限的定义与基本理论学时.pptVIP

例4 有理函数的极限 证明： 定理4 ( 柯西收敛定理) 思考题目 用海涅定理重新证明： 函数极限的基本性质（唯一性、保序性）； 四则运算； 复合运算性质； 夹逼定理. 海涅 (Heine.H.E,1821～1881）德国数学家，是高斯、狄利克雷的学生.海涅在数学分析及应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致连续定理.他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间具有有限开覆盖的性质，较早地掌握了覆盖定理的意义.因此，这个定理后来称为海涅一波菜尔覆盖定理. 数学家介绍 五、小结 1、极限的定义 2、函数极限的性质 3、极限的四则运算性质 4、海涅定理和柯西定理 作业 习题2.4 1.(1),2.(3)(5),3.(3)(5),5,6 §2.4 函数的极限的定义与基本理论 一、极限的定义 问题: 如何用描述? 定义1（邻域） 定义2（函数极限） 注1 注2 左极限 右极限 定义3.（函数的左右极限） 定理1 左右极限存在但不相等, 例1 证 二、函数极限的基本性质 证明： 性质1.（唯一性） 证明： 性质2.（局部有界性） 性质3. (保序性) 证明： 性质4.(保号性) 证明： 性质5(夹逼定理) 例2 求 解：如图易得 三、极限的四则运算性质 定理1（函数极限四则运算性质） 例8 例9 定理2（复合函数的极限） 证明： 注 例5 ⑴ ⑵ 复合函数求极限 ⑶ ⑷ 复合函数求极限 复合函数求极限 ⑸ ⑹ 定理3 ( 海涅定理) 注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系 四、海涅定理和柯西定理 证： 结论得证 例9 证 得证