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几种常见的曲面及其方程 二次曲面 曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节曲面及其方程 即 动点为 定点为 ， 由两点间距离公式得 特别,当M在原点时,球面方程为 定值为 R 表示上(下)球面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、几种常见的曲面及其方程 1.球面 例1 方程 表示怎样的曲面. 解 通过配方，把原方程写成 对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为 的球面. 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意z, 平行z轴的直线l, 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成 的轨迹叫做柱面.  表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.  z 轴的平面.  表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l叫做母线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 一条平面曲线 3.旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 将 面上的椭圆 分别绕 轴和 轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。 解 绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为 即 即 绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为 例3 求 面上的抛物线 绕x轴 旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 中的x 不变， 换成 便得到旋转抛物线的方程为 例4 求 面上的直线 绕z轴 旋转一周而成的圆锥面的方程。 解 所求圆锥面的方程为 即 二、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 机动 目录 上页 下页 返回 结束 黄 绿 红 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲线1.曲线方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 设一动点M 在圆柱面 上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于z 轴的正方 向上升( 都是常数) 则点M的几何轨迹叫做螺旋线 （图7-34），试图建立其参数方程。 解 取时间t 为参数，设t=0 时动点在 处， 动点在点 处，过点M 作xo