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积分型柯西中值定理“中值”探讨
关于积分型柯西中值定理“中值”的探讨 施燕 (徐州师范大学 数学系 徐州 221116) 摘要 本文巧妙地利用构造函数、消元、分类讨论的思想方法,将已有积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围加强到开区间.同时,在适当的条件下,利用泰勒定理及函数的连续性,讨论了当时积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性,给出了的较为一般性的结论. 关键词 积分型Cauchy中值定理;介值性定理;连续性;泰勒定理 引言 中值定理(微分中值定理,积分中值定理)是数学分析中最基本而且最重要的定理之一,鉴 于它们在理论上和应用上的重要作用,因此,对中值定理的研究无疑是一件非常有意义的工作. 在这一领域,已有许多学者得到了很好的结果(见文献[1],文献[4],文献[7]),文献[1]证明了 “中 值”属于闭区间时的积分型Cauchy中值定理,本文在此基础上,证明了“中值”属于开区间时的积分型Cauchy中值定理,并给出了一系列有用的推论.此外,本文还讨论了当时“中值”的渐近性,给出当两个函数高阶导数的阶不一致时“中值”的渐近性的结论,这一结论为我们处理许多问题提供了方便. 2 主要结果及其证明 积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围的讨论. 定理1(积分型Cauchy中值定理) 设函数在闭区间连续,且保号(恒大于0或恒小于0),则在上至少存在一点,使得 =. 引理1 设函数在闭区间上连续,对任意,有且则以下结论成立: 若,则有; 若,则有. 证明 构造函数 . 由条件知在上连续,且,则一定存在点使得. 根据连续函数的保号性,存在正数及点的某邻域其中,使得对任意的,有. 由,有, 所以 =++ = , 即 , 从而 . 同理可证,当时,. 引理2 若函数在闭区间上连续,且在上取得最大值和最小值,,则对于和之间的任意一个数,在开区间内至少存在一点,使得 . 证明 设, 且. 考虑函数在以为端点的闭区间,由介值性定理知,存在,使,即 ,. 定理2 设函数在闭区间连续,且保号(恒大于0或恒小于0),则至少存在一点,使得 . 证明 令,则在上连续,故在上取得最大值和最小值,于是,有, 即 . 若在上恒为常数,则开区间内任一点均可作为,定理显然成立. 若在上不恒为常数,那么. 设,由引理1,有 , , 将不等式两边同除以,有 , 由引理2知,在开区间内至少存在一点,使得 . 设,由引理1,有 , , 将不等式两边同除以,有 , 同上可证得结论成立. 定理2中,在式中令,有 推论1 若函数在闭区间连续,则在开区间上至少存在一点,使得 . 定理2中,在式中令,有 推论2 若函数在闭区间连续,函数在上可积且不变号,则在开区间上至少存在一点,使得 . 当区间的端点时,积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性的讨论. 定理3 设函数满足 在上连续,在可导,且导数在点右连续; ; , 则积分型Cauchy中值定理中值满足 . 定理4 设函数满足 在有直到二阶导数,且二阶导数在点右连续; ; ,且, 则积分型Cauchy中值定理中值满足 . 证明 设分别为的原函数,则有 ,. 由条件及泰勒定理知,可在点泰勒展开,从而有 , , 因为 , 所以 , , , , , 其中 显然满足积分型Cauchy中值定理的条件,于是将式代入式中,有 , 化简,得 , 当时,, 且. 从而对式两边取极限可得 , 即 . 定理5 设函数满足 在上有直到阶导数,且阶导数在点右连续; ; ,且, 则积分型Cauchy中值定理中值满足 . 证明 设分别为的原函数,则有 , . 由条件及泰勒定理知,可在点泰勒展开,从而有 因为 , 所以 , , 其中 显然满足积分型Cauchy中值定理的条件,于是将式代入式中,有 , 化简,得 , 当时,,且. 从而对式两边取极限可得 , 即 . 显然,当分别取1,2时,定理5就是定理3和定理4.由此可见,定理3和定理4是定理5的特例.观察定理5中的条件,可以发现两函数的高
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