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§1.3函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。 教学目标 知识与技能 （1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 （2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性 （3）单调性与奇偶性的综合题 （4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 过程与方法 （1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念 （2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 情感、态度与价值观 （1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳 （2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达 课时安排 （1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时 （2）习题课：5课时 第一课时 单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题 教学难点 （1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述 （2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取，且”的理解） 教学过程 一、由特殊到一般，引入课题 学生画图与，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中和的对应来表达这种变化的规律？ 二、新课教学 老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量越来越大的情况下，上升意味着函数值越来越大，下降意味着函数值越来越小.） 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数. 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势. 三、重点强调1——单调区间 老师板书函数图象，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调性是不一致的，即单调性是一个区间概念. 例1 图1.3-4是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？ 注记： ①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理. ②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号、“或”字，加一个逗号就行了.（因为代表的是一个集合，任取的时候有可能是而，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）. ③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域是不谈单调性的. 练习 的单调区间是什么 四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例2 物理学中的玻意尔定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大.试用函数的单调性证明之 由于为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明. 五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤 结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系. 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能