闭区间上连续函数有最大值最小值多种证明方法.docVIP

第20 卷第4期 Vd ．20 No．4  三明 高等专 科学校学 报  J OURNAL OF SANMI NGCoLU￡GE 12月  3002  ． c eD  多种证 明方法 杜素勤 )400563明三建福，系学数校学科专等高明三 ( 调“单、理套定问区闭理、定盖覆有限、理鼹定 a聪舡 ei、w理定性有界的中分析学数用：利要摘 有界数列有极限”定理、上下确界定义来证明闭区间上的连续函数能取到最大、最小值。 中图分类号：0174文献标识码：值大最：词键关 30一“00一40 )3002 (3431—1761：号编章文 连 间上的 ，而闭区 最小值 大值或 定有最 ，就不一 间连续 在开区 续或只 区间不连 数在闭 若函 。 明证行进 它对面方 多从将 面下，证 论的格 严以加须 必却上学 数是但 ，的显明 很是 最大( 小)值定理：在闭区间[ n，6] 上的连续函数一定有最大值和最小值。 下面 只证 明在 闭区间[n，6]上 的连续 函数 ，(z )有最 大值 ，同理 可证 ，(x )有最 小值 。 ： )义定 界确上 及以 理定性 界有用 利 (a 法证 Jx工) (，{p∈有。uS设 界 }]6[，口[∈口，)工l 工( {集数，界定知理 性 有由西] }=M，用反证 法：假设对于任意一个x∈[n，6]，有，(x)M显然，函数M一，(工)在[口，6]上连续，且在 [n，6]上恒为正，即对任意一个x∈[口，6]，有M一，(x)o，于是丽粕是在[口，6]上有 1 有1o， ]钿，口 ∈ 个M意任于对，R 这与是数集{，(x) l工∈[口，6]}的上确界相矛盾。于是存在xo∈[口，6]，使，( 工o)=M，即函 。…值大最 到取可上 ]6，口 [在 )工 (，数 ： )义定界确上及以理定 ss a r tS re iWe用利 (2法证 由有界性定理， (x)在[口，6]有界，因此有上确界。由上确界定义，对e=吉(n=l，2，3， 收稿日期：2003．10 ．09 。讲师系学数学校科专等明高三，人肇庆东广，，女)一6519勤(素杜：简介者作 八％) ≥，( 而一1) 。显然，对任何xl ∈I I ，都有％∈I 矗( 肛∈j v) 使得，( “) ≥，( x1) 。由( 1) 、( 2) 知，这些区间的左端点组成单调增加数列。且这个数列有界，故它收敛于p，显然p∈I l 。 若存在口 ∈j ，使， ( p) ，( 口) ，则 由，在J 1的连续性 可知，存在P的一个邻域U( p) ，使 得对一切x∈U( P) 有，( 工) ，( 口) 。由于J 矗的长度趋于0，所以存在自然数m，使U( P) 3 k。由这个关系式推知，对于一切x∈J 詹有，( 工) ，( g) 。然而由上述( 3) 知：对于口∈11，总 有％∈ k使得 ，( ‰ ) ≥， ( 口) 。故产 生矛盾。所 以，在p点取最大 值，( p) 。 证法6( 利用上下确界定义) ： 令 M={x∈ [ 口 ， 6] I ， ( x) 河 ( H) ， 对 一 切 Ⅱ ∈ [ 口 ， 6]}， 因 为 口 ∈ M， 所 以 M非 空 且 有 上 界6。 令c=叫pM， 任取x∈[ 口 ，6] ，令 卫j ，=i nf l z∈[ 口，6] I ，( z) ≥ ，( x) }，下 面证明： ( 1) ，( j ，) ≥ ，( x) ；( 2) y∈M；( 3) c ∈M ( 1) 对任 一￡0，存 在艿O，使得 当Ⅳ∈[ 口， 6] 且j ，+占“j ，时，有 eI ，( j ，) 一八口) I 。 由y的定义，存在z ∈[ 口，6] ，使得 y≤z y+6且，( 乏 ) ≥，( x) ，因此 f ( y) =f ( z) +f ( y) 一f ( z) ≥f ( z ) 一e≥f ( x) 一e 由e 的 任意 性知 ：，( 岁) ≥，( 工) 。 ( 2) 由j ，的定义知，不存在口使得y口≥口，则f ( y) ≥f ( x) f ( u) ，故y∈肘。 ( 3) 对任一￡0，存在60，使得当z∈[ n，6] 且占l z —c I 时，有e I f ( z ) 一f ( c) I 。假 定cH≥口，由c的定义，存在z∈M使c≥z≥H且6l z—cI ， 因此 f ( c) +e ≥“c) +f ( z ) 一f ( c) =f ( z ) ≥f ( u) 可见，( c) ，( 口) ，从而c∈M。 由此 可知y≤c且，( 亡) ≥，( y) ≥ ，( x) ， 于是对 于一切x∈[ 口 ，6] 有 ，( c) ≥ ，( x) 【31，即 ， ( 工) 在[ 口，6] 存在极大值，( c) 。 。 参考文献： [ 1] 二十省市教育学院．数学分析【M】