第四节行列式性质.docVIP

行列式的性质 上一节我们给出了一般n价行列式的定义，下面我们需要证明按照这个定义的n价行列式可以解一般的n元线性方程组.下面我们先研究行列式的性质。 记  行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明: 按定义 证毕 说明: 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明: 设行列式 是由行列式 D 变换 i , j 两行得到的 于是 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明: 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 证明：由行列式的定义 证毕 推论1　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 但是要注意，对行列式的行（列）提公因子时， 要对行（列）分别进行。 推论2　若行列式的某一行（列）中所有元素均为零，则此行列式为零．  性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明: 性质5　若行列式的某一行(列）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和：  证明：由行列式的定义 证毕 例如   性质６　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到 另一行（列)对应元素上去，行列式的值不变．   证明：由行列式的性质 证毕 由于上三角形行列式的值是其对角线元素的乘积，因此计算行列式常用方法是利用性质6，把行列式化为等值的上三角形行列式，从而算得行列式的值． 为了以后叙述方便，我们引进下列记号： 对换行列式的两行（或两列）记为 把行列式的第i行（或列）提出公因子k,记为 把行列式的第i行（或列）乘k倍后加到第j行（或列）上去记为 例9 解： 例10 计算 n 阶行列式 解: 将第 2,3,…,n 都加到第一列得 例11 证明 证明: 小结 行列式的6个性质 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．