第讲空间点直线平面之间位置关系.docVIP

第讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 【高考会这样考】 1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【复习指导】 1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理． 2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键． 基础梳理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′a，b′b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．范围：. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 两种方法 异面直线的判定方法： (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用 (1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是(　　)．A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)． A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 3．(2011·浙江)下列命题中错误的是(　　)． A．如果平面α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α平面γ，平面β平面γ，α∩β＝l，那么l平面γ D．如果平面α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)．A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 　　 考向一　平面的基本性质 【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是(　　)．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________． 考向二　异面直线 【例2】如图所示， 正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)． 考向三　异面直线所成的角 【例3】(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中． (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 【训练3】 A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若ACBD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 考向四　点共线、点共面、线共点的证明 【例4】正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． 【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别