矩阵对角化附其应用.docVIP

13届 　 分 类 号: 　　　　　　　　　　　　　　　　　 单位代码:10452 临沂大学理学院 毕业论文（设计） 矩阵的对角化及其应用 　　　　　　 　2013年3月20日摘 要 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 ABSTRACT Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc. Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 目 录 1 引言 1 2矩阵对角化 1 2.1可对角化的几个条件 1 2.2可对角化的矩阵的性质 3 2.3 矩阵的对角化 5 2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 5 2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 8 3 矩阵对角化的应用 11 3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 11 3.2 求解行列式的值 14 3.3对角矩阵的其他方面的应用 15 4 结论 19 参 考 文 献 20 致 谢 21 1 引言 对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用. 定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质： =0，，.形如. 定义1.2 矩阵可对角化：设是维线性空间的一个线性变换，如果存在的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. 2矩阵对角化 通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换（初等变换）后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵（这个矩阵称为对角阵），这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件 矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论， 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,使，可同时对角化. 引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某个，则当切仅当本身是对角阵. 由于任意一个幂等矩阵必相似于对角矩阵.而且每个与对角矩阵都可以进行谱分解，即=,其中是的特征值，