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无穷的困惑 安培环路定理 1楼1楼???? 经常有人发贴问一些关于无穷的问题，这些问题看似简单，却是比较难弄懂的。然而每个人都有各自的观点，无论是高深、肤浅、对的还是错的，都在帖子里面讨论，对于一些基础不扎实的吧友来说，很难从这些高低对错的纷乱讨论中保持清醒，得到一些启发，更毋庸谈初学者进来找答案了。于是，为了避免一些弯路和错误，帮助初学者，这里就有必要总结，澄清一些观点，供大家参考。???? 好了，废话不多说，进入主题----???? 无论是问问题还是解决问题，首要的是要把对象先弄明白，那么概念就很重要了（无论哪门学科）。别小瞧，问题的入口就在这里。一旦概念不清晰，很容易弄错，并且还毫不察觉。一个很明显的例子就是那个贝特朗的著名的概率悖论（关键是“平均（等概率）”的含义如何解释）。1.无穷极限???? “无穷”其实在众人眼里是个很普通的名词，不就是一直运动下去，没有尽头的意思吗？对的，那是第一印象，很直观。但这仅仅是在日常口头语言或者学文学书面上的应用而已，到了理科尤其是数学这样以严谨著称的地方，就不再那么简单了。???? 其实问题的关键在于“无穷”这个概念隐含着两种意思：一是“潜无穷”，即把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的过程。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在；二是“实无穷”，即把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。例如全体自然数在实无穷观点中认为是存在的（自然集）。而在潜无穷观中，不存在这样一个整体（自然数集、合），因为无论多大的数，我总可以构造比它更大的，因而这个集.合永远都在构造之中。（不过以上两种定义跟数学中集.合、平面、直线等概念的定义情况一样，不是严格的数学上的定义，只是一种描述性的定义。）???? 这两种无穷观在古代早就有争论，缘起于芝诺的几著名的个悖论（其实质就是争论承认何种无穷观）。芝诺本人摇摆不定，总是为难你，当你承认潜无穷观，就拿出潜无穷悖论来反驳；如果你承认是无穷观，就拿出相应的悖论反驳。一直以来，这两种无穷观造成不可调和的矛盾一直困扰着数学家们（哲学家也不例外）。直到微积分刚建立时候，尖锐矛盾再次被提出。于是加紧努力下，几百年后，一个崭新的分析学----标准分析学出世了。它的微积分领域完全抛弃了这两种无穷观，避而不谈（所以现行教材中根本没听说这样的东西，有些人甚至还不知道有两种无穷观），而是采取了“极限”这一技巧手法，通过繁琐的ε-δ手续进行带有描述性地数学定义和论证无穷问题。而实数体系，只承认实无穷观的前提下（完全抛弃无穷小量），康托和戴德金的理论下也十分和谐了。看起来似乎解决了矛盾，其实没有真正解决。???? “极限”词本身包含着“极限值”的意思，这就确定“极限”同时具有形容词和名词双重性质。前者是描述一种运动趋势过程、状态，后者则是一个对象，一个数值。那么，在数学定义里面用到极限，其实根本还是没能解决那个古老的难题，因为只是换种方式进行巧妙躲避（“极限”的两种含义分别包含“潜无穷”和“实无穷”）。而在运算过程中，比如极限的计算，还有级数求和的计算，都是想用哪个就用哪个，左右逢源。但是我们又能如何呢？没有办法，只能这样。有的不甘心的数学家还是想出来了法子----那就是非标准分析学，完全恢复无穷小的数学地位，另辟蹊径独创一个天地。???? 这两种无穷观是相反的，那么种才是正确的呢？其实这个自古的争论，到现在还没有解决。就好比光的波粒二象性一样，没有绝对的谁对谁错。由此带来的那些悖论中提到的“时空是否无限可分”，也没有个答案。?? 2010-7-29 10:49 回复 安培环路定理 2楼2楼2.无穷小相关???? 上面已经说到了一些，这里谈的是概念问题。“无穷小”是什么意思？---无穷接近但不等于零。这是最原始的定义，表述的是一种趋势，一种状态的描述。现在的分析学上定义是，以0为极限的变量（不说是否等于0），叫做“无穷小量”。???? 其实上面引出了一个问题，那就是“无穷小量”和“无穷小”是不是同一个东西？???? 有人说是，这只是简称而已。有人说不是，完全不是同一个东西。???? 根据极限的定义，我们知道无穷小量的这个“量”，是个有极限的“变量”。既然是变量，那么对应的无穷小的一个数量存在吗？也就是说，它能变化到那个非零的要多小有多小的那个量吗？不存在。因为根据标准分学，在实数理论中没有无穷小量的位置。事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小的数的概念与实数中的阿基米德公理相是矛盾的。这样看来，无穷小量和无穷小是同一个意思。但是在微积分部分，如前所述，潜无穷小和实无穷小（就是0）同时存在（总是任意解读最有利的那个，因此无穷小量还是保留两个意义了）。因此，当我