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数学分析的建立—极限思想的理论化 微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，微积分在力学、天文学中大现身手，轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就。 但是另一方面，无论是牛顿的瞬和流数，还是莱布尼茨的dx和，都涉及到无穷小量，而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义，都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。牛顿承认他对自己的方法只作出简略的说明，而不是正确的论证。莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种理想的量，但正如一些数学家所说：与其说是一种说明，还不如说是一个谜。 奇怪的是，微积分自身存在着明显的逻辑混乱，然而在实际应用中则是卓有成效的得力工具。这样，微积分就具有了神秘性。起初，神秘性集中表现在对于无穷小量这个概念的理解上，并因而受到了各种人的攻击。数学家们不能容忍这一新方法的理论本身是如此的含糊不清乃至荒谬绝伦。法国数学家洛尔称微积分为巧妙的谬论的汇集；著名思想家伏尔泰说微积分是精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术。在一片疑难和责问声中，以英国主教兼哲学家贝克莱的谴责最为强烈，他讥讽无穷小量是逝去的量的鬼魂，说微积分包含大量的空虚、黑暗和混乱，是分明的诡辩。 马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为神秘的微积分时期，并有这样的评论：于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。 神秘归神秘，微积分的逻辑缺陷不免遭到人们的猛烈攻击，因此激厉数学家们为消除微积分的神秘性，亦即为微积分建立合理的理论基础而努力。18世纪，在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。 ----达朗贝尔 达朗贝尔（DAlembert Jean Le Rond，1717—1783） 数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析的主要开拓者和奠基人。 达朗贝尔为极限作了较好的定义，但他未能把这种表达公式化。达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法——达朗贝尔判别法，即现在还使用的比值判别法；他同时是三角级数理论的奠基人；达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献，1746年他发表了论文《张紧的弦振动是形成的曲线研究》，在这篇论文里，他首先提出了波动方程，并于1750年证明了它们的函数关系；1763年，他进一步讨论了不均匀弦的振动，提出了广义的波动方程； 达朗贝尔在数学领域的各个方面都有所建树，但他并没有严密和系统的进行深入的研究，他甚至曾相信数学知识快穷尽了。但无论如何，十九世纪数学的迅速发展是建立在他们那一代科学家的研究基础之上的，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707～1783） 欧拉是世界上公认的历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 他在1735年定义了微分方程中的欧拉-马歇罗尼常数，这一公式为计算的积分、求和与级数提供了便利。 欧拉于1748年、1755年和1768-1770年写的关于微积分的伟大论文《无穷小分析引论》 《微积分概论》，《积分学概论》立即成了经典著作，为微积分学理论基础的建立起到了推进作用。 约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1736--1813） 在1979完成的《解析函数论》及收入其中的一篇论文中，拉格朗日为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 同时拉格朗日是分析力学的创立者。拉格朗日在其1788年发表的名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式