极坐标系附其与直角坐标系互换.docVIP

§1.3.1极坐标系 教学目标: 一、知识与技能： 知道在极坐标系中刻画点的位置的方法； 二、方法与过程 借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系 三、情感、态度与价值观 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别； 教学重点: 极坐标（，）与平面上的点的关系 教学难点：极坐标（，）与平面上的点的关系； 教学过程 一、新课引入： 直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。 如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（，），而是它的方位角，即夹角。在航空和航海中的情况都是这样。 当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。 二、讲解新课： 在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。 对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。 当M在极点时，它的极径=0，极角可取任何实数。 在极坐标系中，若无特殊声明，是非负实数，，。 当时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的与，由极坐标（，）可以唯一地确定一个点M，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（，）的定义，对于给定的点，它的极径是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（，），则（，）也是这个点的极坐标，其中是任意整数，当时，表示从该点起绕极点O逆时针转动了圈又回到原处，当时，表示从该点起绕极点O顺时针转动了圈又回到原处。 三、范例讲解 例1、在极坐标系中，画出点A（1，），B（2，）C（3，）D（4，） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即线，线，线，线，线和线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。 指出：我们也可以允许，此时极坐标（，）对应的点M的位置按下面规则确定：点M在与极轴成角的射线的反向延长线上，它到极为O的距离||，即规定当时，点M（，）就是点M（） 例2、如图在极坐标系中，写出点A，B，C，的极坐标， 解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A与极点O的距离为了，且在极轴上，所以A的极坐标为（1，0），同样可求得B，C的极坐标分别为（4，），（5，） 指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（，）后，再写出其通式（，）或（） 例3、已知点Q（，），分别按下列条件求出点P的极坐标。 （1）M是点Q关于极点的对称点：（2）N是点Q关于直线的对称点 解：（1）由于M、Q关于极点对称得它们的极径OQ=OM，极角角相差，所以点M的极坐标为（，）或（）（） （2）由于点Q、N关于直线的对称，得它们的极径OQ=ON，点N的极角满足所以点N的极坐标为（，） 或（）（） 例4、已知两点的极坐标A（3，），B（3，）， 求AB两点间的距离；AB与极轴正方向所成的角。 解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=， 即△AOB为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX= 法二：∵A 、B两点的极坐标分别为（3，），（3，）， ∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=，∠BOC=了 ∴∠AOB=， 在△AOB中，由余弦定理可得 ==3 即△AOB为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB= 四、巩固练习： 1、已知两点的极坐标P（5，），Q（1，），求线段PQ的长度 2、已知点A的极坐标（6，）分别写出给定条件下点A的极坐标 ①若；则A ②若，则A ③若，则A 五、小结，，则 1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（，）是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（，）不是一一对应，只有在规定的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。 2、一般地，极坐标（，）与（，）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，）和直角坐标不同，平面内一个点的极