第三章 几何造型技术-参数曲线.ppt

信息科学与技术学院 康宝生 bskang@nwu.edu.cn 第三章 几何造型技术 y = f(x) 显式表示的缺点： 不能表示封闭或多值曲线； 与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。 平面曲线的隐式表示一般形式为： F(x, y) = 0 隐式表示的优点： 可表示封闭或多值曲线； 便于点和曲线的位置判断。 隐式表示的缺点： 求值困难； 与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。 平面曲线的参数表示。假定用 t 表示参数，则平面曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = [x(t), y(t)] 空间曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 在曲线、曲面的表示上，参数表示比显式、隐式表示有更 多的优越性，主要表现在以下七个方面： （1）可以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线曲面的形状。例如一条平面三次曲线的显示表示为： y = ax3 + bx2 + cx + d 只有 4 个系数控制此曲线的形状；而平面三次曲线的参数表达式则为： 有 8 个系数控制此曲线的形状。 （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换，而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得可以用数学公式处理几何分量。 （6）规格化的参数变量 t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 3.2.2 曲线基本概念 一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为： 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 其一阶、二阶和 k 阶导数矢量（如果存在的话）分别表示为： 如果选择弧长 s 作为参数，那么根据弧长微分公式，有： (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 引入参数 t ，上式可改写为： 分别对 Pi + 1(t) 和 Pi + 2(t) 求导，得： 　Pi+1’ (t) = (- 12t2 + 8t -1)Pi + (36t2 -20t)Pi+1 + (-36t2 +16t +1)Pi+2 + (12t2 - 4t)Pi+3 = Pi+3 - Pi+1 （当 t = 0.5 时） 同理，可求得： Pi+2’ (t) = Pi+3 - Pi+1（当 t = 0 时） 可见，抛物样条曲线达成一阶连续。 　 若把木样条看成弹性细梁，压铁看成作用在梁上的集中载荷，那么按上述方法画出的光滑曲线，在力学上可以模拟为求弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。在建立平面直角坐标系后，由材料力学知道梁的变形曲线微分方程是： M(x) = EIk(x) 其中， E 是杨氏弹性模数，I 是惯性矩，EI 代表梁的刚度系数, 对于均匀木样条来说是一个常数，M(x) 是弯矩，k(x) 是变形曲线 y = y(x) 的曲率。由于梁在两个压铁之间再无外力作用，弯矩 M(x) 是 x 的线性函数，可设为 M(x) = ax + b 根据微分几何，变形曲线 y = y(x) 的曲率 k(x) 为： 通常称为“小挠度”情况下，可以忽略 y’ 的影响， 得到线性近近似方程： M(x) = EIy” 即 y(4) = 0 这时，变形曲线 y = y(x) 为分段三次多项式，且在压铁处的函数值（位移）、一阶导数（转角）和二阶导数（弯矩）都是连续的，而三阶导数（剪力）则有间断。这就是三次样条函数的力学背景。下面我们着手从数学上来表示和研究它。 2. 数学表达式和连续性方程 定义 2.1 设在区间 [a, b] 给定一个划分： 其中， Di = ti+1 - ti 表示子区间的长度 。 S(t) 的二阶导数在节点 ti 处的左右极限分别是： 3.4.2 参数三次样条曲线的确定 m 连续性方程是 m + 1 未知数、m – 1 个方程的线性代数方程组，要惟一定解，必须再附加两个。一般按具体问题的物理要求在区间的两端给出约束条件，称为边界条件。常见的边界条件如下： 1. 夹持端 给定首、末端的一阶导数，即： 2. 自由端