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§9.3 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 设f(x? y? z)是空间有界闭区域?上的有界函数? 将?任意分成n个小闭区域 ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i个小闭区域? 也表示它的体积? 在每个小闭区域?vi上任取一点(?i? ?i? ?i)? 作作和 三重积分的定义 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在闭区域?上的三重 一、三重积分的概念 三重积分的定义 三重积分中的各部分的名称? ??? ————积分号? f(x? y? z)——被积函数? f(x? y? z)dv—被积表达式? dv ————体积元素? x? y? z———积分变量? ? ————积分区域? 直角坐标系中的三重积分 一、三重积分的概念 三重积分的定义 在直角坐标系中? 如果用平行于坐标面的平面来划分?? 则?vi??xi ?yi?zi? 因此也把体积元素记为dv?dxdydz? 三重积分记作 三重积分的性质与二重积分的性质类似? 三重积分的性质 1? 利用直角坐标计算三重积分 ??{(x? y? z)| z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b}? 设积分区域为 区域?可表示为? 解 平面x?2y?z?1所围成的闭区域? 先二重积分后定积分的方法 (截面法) 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分? 设积分区域为 ??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1?z?c2}? 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域? 则 空间区域?可表为? 解 点的柱面坐标 2? 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x? y? z)为空间内一点? 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(?? ? )? 则这样的三个数?、? 、z就叫做点M的柱面坐标? 这里规定?、? 、z的变化范围为? 0????? 0???2? ? ??z??? 直角坐标与柱面坐标的关系 x??cos?? y??sin?? z?z? 柱面坐标系中的体积元素 dv??d?d?dz? 提示? 简单来说? dxdy dxdydz ?dxdy?dz ??d?d?dz? ??d?d?? 柱面坐标系中的三重积分 点的柱面坐标 2? 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x? y? z)为空间内一点? 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(?? ? )? 则这样的三个数?、? 、z就叫做点M的柱面坐标? 这里规定?、? 、z的变化范围为? 0????? 0???2? ? ??z??? 直角坐标与柱面坐标的关系 x??cos?? y??sin?? z?z? 柱面坐标系中的体积元素 dv??d?d?dz? 提示? ?的上边界曲面为z=4? 下边界曲面为z?x2?y2? 用极坐标可表示为z??2? 所以 ?2?z?4? 提示? ?在xOy面上的投影区域为x2?y2?4, 用极坐标可表示为: 0???2, 0?q?2?. 闭区域?可表示为? 解 ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 由曲面z?x2?y2与平面z?4所围成的闭区域? 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图，