近似空间的拓扑性质及其应用-闽南师范大学.pdfVIP

第39 卷第5 期 数学的实践与认识 V o l39　N o 5　 2009 年3 月 M A TH EM A T IC S IN PRA CT ICE AN D TH EO R Y M arch , 2009　 近似空间的拓扑性质及其应用 李进金 (漳州师范学院 数学系, 福建 漳州　363000) 摘要: 　近似空间 (U , R ) 的全体可定义集构成X 上的一个拓扑. 本文在不要求论域U 是有限的前提下探讨 近似空间上这个拓扑的局部性质和可数性质, 以及拓扑空间可近似化的充要条件及公理化体系, 并寻找它们 在粗糙集理论中的应用. 关键词: 　粗糙集; 可定义集; 近似空间; 拓扑 1　引　　言 　　粗糙集(R ou gh Set) 是波兰科学家Z P aw lak 在 80 年代初提出的[ 1 ], 经二十多年的发 展, 现已成为计算机科学、机器学习、信号处理、模式识别等领域的前沿研究方向. 它的基本 概念是建立在集合结构和语义基础上的. 主要有粗糙集, 上近似集, 下近似集和边界区域等. 它们是由一个论域上的等价关系引导出的. 设论域U 是一个有限集, R 是U 上的一个等价关 ( ) 系, 我们称序偶对 U , R 为近似空间. U R 为U 上的由R 生成的等价类全体, U R 中的集合 ( ) 称为基本集. 若将U 中的集合称为概念或表示知识, 则近似空间 U , R 称为知识库. 可表示 为若干个基本集的并的集合均称为精确集或可定义集, 它可以在知识库中被精确地定义或 描述; 否则称为粗糙集或不可定义集, 它在知识库中不能被精确地定义或描述. 但它可以用 ( ) 下近似集和上近似集来“近似”地描述. 具体地说, 设 U , R 为近似空间,X U , 则X 的下 近似集R X 和上近似集R X 的定义通常有如下两种定义形式: R X = {x ∈U [x ] X } R X = ∪{[x ] [x ] X } (a) ; (b ) R X = {x ∈U [x ] ∩X ≠ } R X = ∪{[x ] [x ] ∩X ≠ } 其中 [x ] 是x 所在的R 等价类. 容易验证: 当R X = R X 时,X 为可定义集; 当R X ≠R X 时,X 为粗糙集; 由于R 是等价 关系, 所以(a) 与(b ) 两种定义是等价的; 所有可定义集全体构成U 上的一个拓扑, 称为由R ( ) 诱导出的拓扑, 记为T R , 而 U , T R 称为诱导拓扑空间. 显然, U R 为T R 的拓扑基. 今后为方 ( ) 便起见我们直接说近似空间 U , R 是一个拓扑空间, 它的拓扑均指以U R 为基生成的拓扑 ( ) T R. 这样, 在近似空间 U , R 中, 一个集合X 的下近似集R X 和上近似集R X 分别等于