数值计算方法 课程设计报告 线性方程组求解.docVIP

数 值 计 算 方 法 课 程 设 计 报 告 课程设计名称： 数值计算方法 课程设计题目： 线性方程组的迭代解法 年 级 专 业： 组员姓名学号： 指 导 教 师： 完 成 时 间： 线性方程组的迭代解法 一、问题提出 在阶数较大、系数阵为稀疏阵的情况下，可以采用迭代法求解线性方程组。用迭代法(Iterative Method)求解线性方程组的优点是方法简单，便于编制计算机程序，但必须选取合适的迭代格式及初始向量，以使迭代过程尽快地收敛。迭代法根据迭代格式的不同分成雅可比(Jacobi)迭代、高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代和松弛(Relaxation)法等几种。 二、背景分析 线性方程组Ar = b是我们在科学和工程计算中经常出现的数学模型，对他的解法我们最熟悉的就是主元消去法，但它只是适用于A是低价稠密的矩阵，对于有工程技术中残剩的大型稀疏矩阵方程组，还需利用迭代法求解。 三、基本算法思想与实现 一、Jacobi迭代算法： 程序如下： function y=jacobi(A,b,x0,r) D=diag(diag(A)); U=triu(A,1); L=tril(A,-1); B=-D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=rn=1000 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end fprintf(方程组的解 y=); y fprintf(\n); fprintf(迭代次数 n=,y); n 二、Gauss-Seidel迭代算法： 程序如下： function y=gaussseidel(A,b,x0) D=diag(diag(A)); U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6n=1000 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end fprintf(方程组的解y=); y fprintf(\n); fprintf(迭代次数n=,y); n 三、松弛法： 程序如下： function y=sor(A,b,w,x0) D=diag(diag(A)); U=triu(A,1); L=tril(A,-1); lw=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)\b*w; y=lw*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6n=1000 x0=y; y=lw*x0+f; n=n+1; end fprintf(方程组的解 y=); y fprintf(\n); fprintf(迭代次数 n=,y); n 四、具体应用实例分析 一、Jacobi迭代算法： A=[4 1 1;1 4 2;2 2 8]; b=[2;3;4]; x0=[0;0;0]; a(A,b,x0,0.001) 方程组的解 y= y = 0.2940 0.5292 0.2940 迭代次数 n= n = 14 ans = 0.2940 0.5292 0.2940 二、Gauss-Seidel迭代算法： A=[4 1 1;1 4 2;2 2 8]; b=[2;3;4]; x0=[0;0;0]; gauss(A,b,x0) 方程组的解y= y = 0.2941 0.5294 0.2941 迭代次数n= n = 10 ans = 0.2941 0.5294 0.2941 三、松弛法： A=[1 2 3;2 1 3;1 2 6]; b=[1;2;3]; x0=[0;0;0]; sor(A,b,1.1,x0) 方程组的解 y= y = 1.0e+308 * 1.7796 Inf Inf 迭代次数 n= n = 320 ans = 1.0e+308 * 1.7796 Inf Inf 五、设计总结 线性方程组的迭代解法，这