第十讲不定积分计算方法.docVIP

第十讲 不定积分的计算方法 §５.4 换元积分法 教学过程： 一、第一类换元积分法（凑微分法） 1、问题提出：如何求 ？ 分析：, . 解法：令, 由于, 而 ,, . 又如：． 2、第一类换元法 【定理】设具有原函数，导函数连续，则有换元公式 . 证明： . 3、如何用凑元法求不定积分： （１）将被积表达式化为 ． （２）找出的原函数． （３）将还原为，． 凑元法的关键：凑． 4、常用凑微分表： （1）()，（2）， （3），（4）， （5） （6）， （7），（8）， （9） （10） （11） 5、应用举例： 例1． 计算下列积分 1） . 2） . 【另解: .】 3） . 4） ． 例2．计算下列积分 1） . 2） ． 3) =. 例3. 计算下列积分 1） ． 2） ． 3） ． 4) .还有其他方法吗？ 例4．计算下列积分 １） . ２） . ３） . 提问： . 答案：. 4） , . 5） . 同理可推 . 例５．计算下列积分 1） . 2） . 3) 解 . 例６．计算下列积分 １） . ２） . 其中： ． ３） . 例７．计算下列积分 1） ． 2） ． 3） . 4） 解 . 5） . 注意到：. 例8 计算下列积分 １） ＝． ２） ． 例9 . 例10 . 二、第二类换元法(代元法) 由前面计算知 1、问题提出：如何求 ？ 解法：如果令, 那么 . 2、第二类换元法（代元法） 【定理】设是单调且可导的函数，并且连续，，又设具有原函数，则有换元公式 . 其中是的反函数. 证明： . 3、利用代元法的关键：就是引入合适的变量代换相关的因式，使原有的积分可以利用基本积分公式进行计算.特别注意：换元必须回代. 4、常见类型的代元法： （1）无理函数代换 被积函数中含有令作代换进行换元；被积函数中含有 作代换进行换元. 例1．计算下列积分 (1) 解：原式 . (2) 解：原式 ． (3) 解：原式 . (4) 解：原式 ． (5) 解：原式 . (6) 解：原式 ． （7) 解：原式 . （2）三角代换 一般规律：当被积函数中含有，，时，利用三角函数的平方关系作代换(此时,一般默认反三角函数在主值范围内) .回代时可借助直角三角形边角关系以及勾股关系进行. 当 ① , 可令 ； ② , 可令 ； ③ , 可令 . 例2 计算 解： . () 其中：. 例3 计算() 解：当时 . 其中：. 当时 . 其中：. 故 . () 例4．计算() . 例5． 解 令, 则 . 例6. 解:原式 . (3)倒代换:当分母的次数较高时,可采用倒代换:. 例7．计算 解:原式 （的正负在形式上影响结果形式，但实质是一致的） 例8．计算 解:原式 . （此题另解：. ． 三、基本积分表(续) ； ； ； ； ； ； ； . 小结：能凑就不代换．关键是要熟记常用的凑微分式，对于 典型的凑元积分要熟记公式. §５.5 分部积分法 教学过程： 一、分部积分法 分部积分公式：设函数具有连续导函数，那么 ， 将两边积分得 或 3.公式中与的选择要求：(1)关键确定，将所给积分中易求出原函数的量设为，(2) 积分比容易积出．(3)选口诀“反、对、幂、指、三”；幂：泛指多项式. “指与三”结合时可以任意选择.“反、对、幂、指、三”是指五种基本初等函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数. 二、常见解法 1.直接运用公式积分 观察下列运算 . 若： . 显然, 比更难积出 . 例1．计算下列积分 （1） 解：原式 . （2）． （3） ． （4） ． （5） ． 结论：一般地，被积函数为、与时,选择. 例2计算下列积分 (1) ． (2) ． (3) . 例3 计算下列积分 (1) . (2) . (3) . 2.循环法 当被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积时，形如 ，的积分通过两次分部积分形成一个所求积分的方程，通过解方程求出所要积分．但要注意循环过程中的几次选取要同类. 例4 计算下列积分 （1） 即 . 同理可求得 . （2） . 3.递推法 当被积函数是某一简单函数的高次幂时，适当选择通过分部积分得到该函数高次幂与低次幂函数的递推关系 例 解 因为 所以 当时,当时,当时,. 依次类推可以得到的递推公式，其中为非负整数，并求出. 解： 即 递推公式为 ， 其中 . 所以 ； ； . 例7．利用递推计算 . 解：(1) ; (2) 由于 , 那么 , . 4.综合应用 例8 计算下列积分 (1) . (2)