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第九章 球谐函数 Page 1 of 38 第九章第九章  球  球谐谐函函数数 第九章第九章    球球谐谐函函数数   128.〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。有关这一课题的 完备的著作，E．海恩博士的 《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而F．诺依曼博士也 发表了他的 《关于球谐函数理论的论著》(Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。汤姆孙和泰特的 《自然哲学》 中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的 《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions，and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的 《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》 (Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展 方面花费太多的篇幅了。 然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。   论势论势在那里在那里变为变为无限大的奇无限大的奇点点 论势论势在那里在那里变为变为无无限大的奇限大的奇点点   129.〕如果一个电荷A 均匀地分布在中心座标为 (a，b，c)的一个球面上， 0 则由第125节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是 2 2 2 2 式中r ＝(x-a) +(y-b) +(z-c) ．(2) 由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如 果我们假设半径为无限小的话。表示式的物理诠释将是，电荷A 是放在一个无 0 限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。我们已经证明（第 55，81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷 放在半径小于某值的一个球上的。 不过，既然方程(1)表示的是势在一个球周围的空间中的一种可能的分 布，我们为了数学的目的就可以把它看成是由集中在数学点(a，b，c)上的一 个电荷A 所引起的，而且我们可以把这个点叫做一个零阶的奇点。 0 还有另外一些种类 的奇点，他们的性质我们不久就会研究 。但是，在那样 作以前，我们必须定义某些表示式，而我们即将发现，在处理空间中的方向以 及球上和各该方向相对应的那些点时，这些表示式是有用的。 8/resource/Book/Edu/KPTS/TS009040/0015_ts009040.htm 2010-7-26 第九章 球谐函数