数学归纳法的证明形式之完成.PDFVIP

HPM 通訊第八卷第四期第一版 數學歸納法 part 2 發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授） 主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台師大數學系） 數學歸納法的證明形式之完成 助理編輯：張復凱、歐士福（台灣師大數學所） 編輯小組：蘇意雯（成功高中）蘇俊鴻（北一女中） 歷史上的「數學歸納法」： 黃清揚（北縣福和國中）葉吉海（新竹高中） 陳彥宏（成功高中） 陳啟文（中山女高） 以阿爾-凱拉吉、阿爾-薩毛艾勒、本 王文珮（桃縣青溪國中）黃哲男（台南師院附中） 英家銘（台師大數學系）謝佳叡（台師大數學系） 熱爾松、摩洛利克為例 蔡寶桂 (新竹縣網路資源中心) 創刊日： 1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 叫誰第一名？ 網址：.tw/～horng 如何製作 HPM 學習工作單－以數學 歸納法單元為例 數學歸納法的證明形式之完成 西松高中 蘇惠玉老師 當我們打算證明一個命題對所有自然數都成立時 ，數學歸納法算是一個很好的證明策 略。使用此一方法的證明形式，必須先證明兩個前提成立：(1) 證明起始值成立，通常是 n=1 時；(2) 假設 n=k 時命題成立，利用此一『歸納假設』證明 n=k+1 時原命題成立；最 後，得到所謂的結論：「由數學歸納法原理」可證得本命題對所有起始值以後的自然數成 立 ，到此證明才算完畢 。當我們對自然數的特性足夠瞭解後 ，對數學歸納法作為一種證明 法的有效性，當然不會有所疑慮；但是儘管 「自然數的特性」這個詞看起來顯然易懂， 自 然數本身理論基礎的嚴密 ，卻又不是那麼容易可以達成 。因此 ，在證明一個對所有自然數 都成立的命題時，所面臨的第一個問題，即是我們要如何將無窮多的 「每一個」自然數都 一一證明？歷史上許多的數學家面臨這樣的問題 ，而在皮亞諾 (Giuseppe Peano ，1858-1932) 的對自然數的公設提出之前 ，他們各自以自己的方法解決問題 ，或多或少對 「數學歸納法」 的理論基礎作出貢獻。在本文中，我們就以沃利斯 (John Wallis ，1616-1703) 、尤拉 (Leonhand Euler ，1707-1783) 以及巴斯卡 (Blaise Pascal ，1623-1662) 為例 ，說明數學歸納 法的證明形式如何完成！ 沃利斯 ，英格蘭人 ，1649 年成為牛津大學薩維爾 (Savilian) 講座的幾何學教授 ，在他 的 《無窮算術》(Arithmetica Infinitorum, 1655) 中 ，他想要找出 y x k 曲線下的面積 。為此， 他先以平方為例 ，在決定 y x 2 在x=0 與x=x 之間的面積與由x , x 2所決定的矩形面積的比 0 0 0 值時，他必須先找出下面的這個值，以現在的符號表示，即為： 2 2 2 2 0 +1 +2 +...+n lim