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初中数学动点密钥 第 一 讲　 线段和差中的动点 一、中考动脉 线段和差问题是一个贯穿整个初中数学的问题，是一个难点问题．解决这类问题， 关键在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之 间线段最短”“垂线段最短”等几何原理来求解；或者转化为函数关系，利用函数最值来 求解．其中“垂线段最短”和“两点间线段最短”是根本依据，“三点共线”“轴对称”“旋 转”则是利用作图来实现“垂线段最短”和“两点间线段最短”的变换方式；而通过函数 表达式，进而利用函数最值来求线段和差的最大值或最小值，则是数形结合的体现． 关于线段和差中的动点问题，我们从五个方面来学习． １．利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题． ２．利用三点共线的特征解决最大（小）值的问题． ３．利用轴对称变换解决最大（小）值的问题． ４．利用旋转变换解决最大（小）值的问题． ５．利用二次函数的最值性质解决最大（小）值的问题． 二、知识结构图 ２ 第一讲　线段和差中的动点 三、金题精讲 （一）利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题 金题１． 如下图所示，△ＡＢＣ是以ＡＢ 为斜边的直角三角形，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，Ｐ 为ＡＢ 上的一动点，且ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则线段ＥＦ长度的最小值是　 　 　 　 ． 考频：４星 难度：３星 错误率：７０％ 欲求ＥＦ 的最小值，需要把ＥＦ进行转化，如何转化？ 根据已知条件可以判断四边 形ＥＣＦＰ是矩形，ＥＦ是矩形的对角线，它又有什么特点？ 等于什么？ 哪条线段有最小 值？ 于是，联想到点到直线的距离最短为　 　 　 ． 连接ＰＣ． ∵ＰＥ⊥ＡＣ，ＰＦ⊥ＢＣ， ∴ ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ＝９０°； 又∵ ∠ＡＣＢ ＝９０°， ∴ 四边形ＥＣＦＰ是矩形， ∴ＥＦ＝ＰＣ， ∴ 当ＰＣ长度最小时，ＥＦ长度也最小， 即当ＣＰ⊥ＡＢ 时，ＰＣ最小， ∵ＡＣ＝４，ＢＣ＝３， ∴ＡＢ ＝５， １ １ ∴ ＡＣ ·ＢＣ＝ ＡＢ ·ＰＣ， ２ ２ １２ ∴ＰＣ＝ ． ５ ３ 初中数学动点密钥 １２ ∴线段ＥＦ长度的最小值为 ； ５ １２ 故答案是 ． ５ 变式１． 如右图所示，在菱形ＡＢＣＤ 中，过Ａ 作 ＢＥ ５ ＡＥ⊥ＢＣ 于 Ｅ，Ｐ 为ＡＢ 上一动点，已知 ＝ ， ＡＢ １３ ＥＣ＝８，则线段ＰＥ 的长度最小值为　 　 　 ． 变式２． 如下图所示，等边△ＡＢＣ的边长为１，Ｄ、Ｅ 两点分别在边ＡＢ、ＡＣ上，ＣＥ ＝ ＤＥ，则线段ＣＥ 的最小值为（　 　 ）． 考频：３星 难度：２星半 错误率：５０％ １ ３－１ Ａ．２－ ３