离散数学教程-王元元-第12章 群、环、域.pptVIP

离散数学 第12章 群、环、域 第12章 代数结构通论 12.1.1 半群及独异点 定义12.1 如果代数结构S,?中的运算 ? 满足结合律，则称S,? 为半群。当半群S,?含有关于 ? 运算的幺元时，则称 它为独异点，或含幺半群。 例12.1 I+,＋，N,·， ??,并置都是半群，后两个又是独异点。 SS,? 为一半群和独异点，这里SS为S上所有一元函数的集合， ?为函数的合成运算，其幺元是S上的恒等函数IS。 12.1.1 半群及独异点 定理12.1 设S,?为一半群，那么 （1）S,?的任一子代数都是半群，称为S,?的子半群。 （2）若独异点S,?,e的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点， 称为S,?,e的子独异点。 定理12.2 设S,?、S’,?’是半群，h为S到S’的同态，这时称h为 半群同态。对半群同态有 （1）同态象h(S),?’为一半群。 （2）当S,?为独异点时，则h(S),?’为一独异点。 12.1.1 半群及独异点 定理12.3 设S,?为一半群,那么 (1) 存在S,?到SS,? 的半群同态h。 (2) S,?在含有幺元时同构于h(S),?, 后者是SS,? 的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意a?S，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意x?S， fa(x)= a?x 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,b?S ， h(a?b)＝fa?b (l2－1) 而对任何x?S，fa?b(x)= a?b?x = fa(fb(x))= fa?fb (x)，故fa?b= fa?fb , 由此及式(l2－1)即得 h(a?b)= fa?b = fa?fb ＝h(a)?h(b) 证(2)：只需证明a,b?S，如果a≠b，则fa≠fb。因为S,?含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在x?S，fa(x)≠fb(x)，定理得证。 12.1.1 半群及独异点 定理12.3 设S,?为一半群,那么 （1）存在S,?到SS,? 的半群同态h。 （2）S,?在含有幺元时同构于h(S),?，后者是 SS,? 的一个 子代数。 证 为证（2），只需要证明a,b?S，如果a≠b，则fa≠fb。 因为S,?含有幺元e，a*e=a≠b*e=b， 所以存在x?S，fa(x)≠fb(x)，定理得证。 ?12.1.2 自由独异点 定义 12.2 称独异点S,?,e为自由独异点，如果有A?S，且使得 （1）e?A 。 （2）对任意u?S，x?A,u?x ? e 。 （3）对任意u,v?S，x,y?A, 若u?x = v?y,那么u = v,x = y。 （4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为 A的成员的“积”: ai1?ai2?…?aik (ai1,ai2,…,aik?A) 集合A称为S的生成集。 ?12.1.2 自由独异点 定理12.4 设S, ?, e为一自由独异点，A为它的生成集， g: S?A?M→M为一已知函数，m为M中已知元素， 那么下列等式组定义了一个S到M的函数f： （其中w?S，x?A） 定理12.5 设S, ·,e1和T,?,e2为两个自由独异点，A、B分别为 它们的生成集，且? A ? = ? B ?，那么S, ·,e1和T,?,e2 同构。 ?12.1.2 自由独异点 本定理具有重要的意义，它说明： （l）自由独异点完全取决于它的生成集。如果两个自由独异点的 生成集基数相等，即生成集之间存在双射函数，那么这两个 自由独异点同构，它们具有完全相同的性质和结构，只是其 表示符号不同而