初一数学一题多解.docxVIP

例题一、如图1，已知AB//CD，试找出、和的关系并证明。我们找出他们的关系是：。证明如下：方法一：如图2，过点E作EF//AB。因为，所以；因为，，所以，所以，所以。方法二：如图3，过点E作EF//AB。因为，所以，即；因为，，所以，所以，即；因为，所以。方法三：如图4，连接BD。因为，所以，即；在ΔBED中，，所以。方法四：如图5，过点E做，垂足为点F，交CD于点G。因为，所以；在直角ΔEGD中，，在直角ΔEFB中，，所以。方法五：如图6，延长BE交CD于点F。因为，所以；在ΔEFD中，，又因为，所以。例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．求证：△ABC是直角三角形．证法1 如图1，利用两锐角互余．∵AD=CD，CD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B。在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一．延长AC到E使CE=AC，连接BE．∵AD=BD，∴CD是△ABE的中位线．∴。∵，∴AB=BE．∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．过点D作DE⊥BC交BC于点E．∴CD=BD，∴，∴，∵∠B是公共角，∴△BDE∽△BAC。∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．取BC中点E，连接DE．∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC．∵CD=BD，CE=BE，∴DE⊥BC．∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形．延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．∵AD=BD=CD．∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．∴四边形ABCD是矩形．∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理．设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE．∴DE是△ABC的中位线．∴。∵CD=BD，∴DE⊥BC。在Rt△DEB中，∵，∴。∴，∴△ABC是直角三角形。证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。延长CD到E使DE=CD，连接BE。∵AD=BD，∠1=∠2，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠ACD=∠E，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°。又∵AD=CD，∴AB=CE。∵BC是公共边，∴△ACB≌△EBC（SSS）。∴∠ACB=∠EBC。∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。以D为圆心，DA长为半径作圆。∵AD=BD=CD，∴点C、B在圆上，AB是直径。∴∠ACB=90°。∴△ABC是直角三角形。例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。下面让我们先来列出方程。设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，可得方程，求的值。解法一：变元法：把z看成常数，解关于x、y的方程，可得然后代入所求式中，得：答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。解法二：直接构造法：因为题目中要求的值，所以将原方程互助组变形直接构造出。②4+①得答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的①两边同乘以常数a，②的两边同乘以常数b，得①+②得∵我们想要求的代数式是x+y+z，∴令可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05∴ x+y+z=1.05例题四、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。证法一???? 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，? 又EC=BF?? 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故? FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，? 又EC=BF?? 从而E