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刍议高中数学中的类比推理 ——巧类比 提效率 徐州市田家炳中学（221200） 武瑞雪 （电话 E-mail:wrx2020@163.com） 窗体顶端 它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d．类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式推结论但进行科学研究和发明创造解题思路发现问题答案或结论.波利亚曾说如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现开普勒对类比也情有独钟：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师《普通高中数学课程标准》（实验）数学中许多概念之间有类似的地方，在新概念的提出，新的过程中，运用类比的方法，以旧新，记忆更牢固，理解更深刻在高中数学中可通过类比法引入的概念非常多，如：可进行 例⒈已知两个圆：x2+y2=1 ① 与 x2+(y(3)2=1 ② 则由①式减②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 . 分析：本题是由“特殊的圆”到“一般的圆”之间的类比.两特殊的圆有“圆心不同但半径相等”的特点，故类比应以“圆心不同但半径相等”为基本条件，故类比出推广的命题为：设圆的方程： (x(a)2+(y(b)2=r2 ③ 与(x(c)2+(y(d)2=r2 ④ 其中a(c或b(d，则由③(④可得两圆的对称轴方程2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d 2=0. 2.联想类比 例⒉求证：若对正常数m和任意实数x，等式f(x+m)=[1+f(x)]/[1-f(x)]成立，则f(x)是周期函数. 分析：要证是周期函数，只能从定义出发，但本题中不能直接找到该函数的一个周期，故证明的关键在于直觉感知周期的取值.但从本质看很难直接找到函数的一个周期.观察题中等式f(x+m)=[1+f(x)]/[1-f(x)]的结构特征，类比联想到正切公式tan(x+((4)=(1+tanx)/(1-tanx)，而tanx的最小正周期为(((的4倍，从而猜测f(x)是以4m为最小正周期的周期函数.证明略. 3.方法类比 很多学生课上听得懂，课后自己做题时却不知如何下手，主要原因是解题时不能而学习数学，最需要的就是迁移能力. 例⒊设边长为a的正三角形内的任一点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,以P为顶点，以三角形的各边为底组成分别以h1,h2,h3为高的三个三角形，则由等面积法有： (1/2)ah1+(1/2)ah2+(1/2)ah3=(1/2)a((/2)a,故得边长为a的正三角形内的任一点P到三边的距离之和为定值(/2)a；试对棱长为a的正四面体写出类似的性质，并加以证明. 解：类似性质为：棱长为a的正四面体内的任一点到四面的距离之和为定值(/3)a. 证明如下：设点P是棱长为a的正四面体内的任一点，则其可分割成以点P为顶点，四个表面为底面的四个三棱锥，由等体积法可得 (1/3)( /4)a2(h1+(1/3)( /4)a2(h2+(1/3)( /4)a2(h3+(1/3)( /4)a2(h4=(1/3)( /4)a2((/3)a (棱长为a的正四面体的高为(/3)a)，故得棱长为a的正四面体内的任一点到四面的距离之和为定值(/3)a. 4.等比、等差数列的类比 例⒋在等差数列(an(中，若a10=0，则有等式a1+a2+(+an(a19(n(n(19,n(N((成立，类比上述性质，相应地：在等比数列(bn(中，若b9=1，则有等式 成立. 分析：本题主要考查观察分析能力抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列 {a n } 而得到等比数列 {bn }。等差数列用减法定义性质用加法表述若 m , n , p , q ∈ N * , 且 m + n = p + q , 则 am + an = a p + aq等比数列用除法定义性质用乘法表述（若 m , n , p , q ∈ N * , 且 m + n = p + q , 则 a m a n = a p a q ）. 等比数列 加法（减法） 乘法（除法） 乘法（除法） 乘方（开方） 和为0 积为1 等差中项（算术平均数） 等比中项（几何平均数） 由上表类比原则，得本题答案为：b1b2(bn(b17(n