分油问题的数学模型.docVIP

分油问题的优化模型 摘要：在实际中, 由于材料、资源等方面的限制会造成相关问题的解决。例如，分油是油瓶不够等等，这时需要利用已有的资源进行充分的利用，挖掘潜在价值对实际问题进行求解。本文针对分油问题,通过研究、分析、假设，运用逻辑推理演算，对问题的实质加以数学剖析建立相应的数学动态优化模型，从而从本质上使问题得以解决。动态优化模型经过逻辑思考的推理，又可将分油的简单问题运用到我们的实际生活中来，解决类似该类情况的问题。 关键字：分油问题、逻辑推理、数学剖析、动态优化模型 问题重述 已知有一个装满10斤油的油瓶，另则有可装3斤油和7斤油的两个空油瓶，在没有秤的的前提下，试建立数学模型如何用这3个油瓶将10斤油分成各为5斤油的两份。 在油瓶不多的前提下完成不同情况下的分油问题，事实上，由于无足够多的油瓶，分油问题会遇到一定的瓶颈。因此一般以充分利用油瓶及合理分配的原则优化分油。 二、问题分析 动态优化模型的分析：（1）10斤油倒向7斤油瓶中；（2）7斤油倒向3斤油瓶；（3）3斤油瓶倒向10斤油瓶；（4）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（5）3斤油倒倒向10斤油瓶；（6）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（7）10斤油瓶倒向7斤油瓶；（8）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（9）3斤油瓶倒向10斤油瓶。 设x为7斤的油瓶，y为3斤的油瓶，z为10斤的油瓶。 表1：分油的具体步骤如下 操作步骤 x(7斤油瓶) y(3斤油瓶) z(10斤油瓶) z=10 0 0 10 (zx) 7 0 3 (xy) 4 3 3 (yz) 4 0 6 (xy) 1 3 6 (yz) 1 0 9 (xy) 0 1 9 (zx) 7 1 2 (xy) 5 3 2 (yz) 5 0 5 由表1知可建立一个三维空间直角坐标图，我们可以得出结论： 当点落在x轴上时，表示3斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶； 当点落在y轴上时，表示7斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶； 当点落在z轴上时，表示3斤油瓶和7斤油瓶都为空油瓶； （4） 当点落在xoz平面上时，表示3斤油瓶为空油瓶； （5）当点落在xoy平面上时，表示10斤油瓶为空油瓶； （6）当点落在yoz平面上时，表示7斤油瓶为空油瓶； （7）当点既不落在坐标轴上也不落在平面上时，三个油瓶均为空油瓶。 用Origin75软件画出如下三维空间坐标图： 图1.三维坐标图 只须从三维空间坐标图中找出一条（0，0, 10）到（5, 0，5）的路径，就是我们所需要的分油法；上表1的操作步骤就是路径的走法。 三、模型假设 假设油是在常温下保存不会发生任何的变质现象，且分油的过程中也是在常温下进行没有任何的外界干扰。 假设三个油瓶都是完好无损的。 假设10斤油瓶中准确装满10斤油。 假设3斤油瓶和7斤油瓶都是准确装满油。 假设每次倒油的过程中没有发生泄露，溢出现象，即油没有任何的损失。 假设每次倒油的过程中黏附在油瓶上的油都忽略不计。 符号说明 （1）x：表示7斤油瓶; （2）y：表示3斤油瓶; （3）z：表示10斤油瓶； （4）：表示第次倒油时，7斤油瓶中的油量； （5）：表示第次倒油时，3斤油瓶中的油量； （6）：表示第次倒油时，10斤油瓶中的油量； （7）:表示第次倒油时，7斤油瓶中的油的变化量； ( 8 ) :表示第次倒油时，3斤油瓶中的油的变化量； ( 9 ) :表示第次倒油时，10斤油瓶中的油的变化量； (10) :表示初始状态下各瓶中的油量; (11) :表示状态下各瓶中的油量; (12) :表示末始状态下各瓶中的油量; (13) :.表示状态下各瓶中的油量变化。 模型的建立与求解 5.1.（动态优化模型） 用有序数组（x , y , z）来反映分油整个过程的集合：。倒油的过程中7斤和3斤油瓶，其中一瓶空或不空，则该过程为： 同理可得： 由此可以得出状态转移规律：……该式状态转移方程，表明了本问题的状态转移关系。求D(=1.2.3…n),使按照状态转移方程的状态递归关系，再根据以下的多步决策问题就可得出解决方案。 5.2.动态优化模型求解 求解决策D，使状态据状态转移方程，从初始状态经过几个阶段到达末状态。由图1的三维空间图可知，我们不必考虑z坐标轴上的变化，进而将三维转化为二维求解。 求解决策D，使状态据状态转移方程，从初始状态经过几个阶段到达末状态，则由ScienceWord画出下图 图2 在图2中，决策变量运动一次表示倒油操作进行一次，即符合状态转移方程，从而完成下一次的操作（一个阶段的操作）。如当时，下一个操作只能是，决策变量左右移动表示z向x中倒油或x向z中倒油；决策变量上下移动表示y向z中倒油或z向y中倒油；决策变量沿着顺时针或逆时针方向旋转表示x向y中倒油，每移动多少格为x向y中到多少斤油。以上分析就为该模型的解，同理可得图3分油