第一章行列式解答.docVIP

线性代数考研辅导 考试大纲规定数学一中现行代数的考试内容包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、二次型这6部分内容，2006年以前线性代数所占内容比例约为20%. 从2007年起，线性代数所占内容比例上升至约为22%. 历年考题的分数分布见下表. 历年全国考研数学一试题中线性代数试题分数分布统计表 分数 年份 行列式 矩阵 向量 方程组 特征值 二次型 合计 87 4+3 3 8 18 88 3+6 3 8 20 89 3 3 6 8 20 90 6 3 3 8 20 91 3+3 8 6 20 92 3+7 3 7 20 93 6 3+3 8 20 94 3+6 3 8 20 95 3+3+6 7 19 96 3 6 3 8 20 97 3+5 5 3 6 22 98 3+4 5 3 6 21 99 3 3+8 6 20 00 6 8 3 8 20 01 3 6 3 20 02 3+6 8 3 20 03 4+4 4+8 10 30 04 4+4 4 9 9 30 05 4+4 9 4 9 30 06 4+4 4 2+7 4+5 30 07 4 4 11 11 4 34 08 6 4 10 6 4 4 34 09 4 4+3 8 4 11 34 10 4 4 11 4 11 34 合计 9 115 101 143 121 87 第一章 行列式 知识脉络图 第一章 行列式 考试大纲（行列式部分） 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 考试要求 了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 基本内容 一、行列式定义 1．定义 其中逆序数 后面的小的数的个数 后面比小的数的个数后面比小的数的个数. 2．三角形行列式 二、行列式性质和展开定理 1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理 三、重要公式 设A是n阶方阵，则 1． 2． 3． 4． 5．，其中B也是n阶方阵 6．设B为m阶方阵，则 7．范德蒙行列式 四．有关结论 1．对于 (1) (2) 2. 为阶可逆矩阵 （与等价） 只有惟一零解 有惟一解（克莱姆法则） 的行（列）向量组线性无关 的n个特征值 可写成若干个初等矩阵的乘积 是正定矩阵 是中某两组基之间的过渡矩阵 3. 为阶不可逆矩阵 有非零解 0是的特征值 4.若为阶矩阵，为的n个特征值，则 5.若，则 行列式的基本计算方法： 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。 行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题: 数字行列式的计算. 利用行列式的定义. 1.1 设 ，求 [解] 只需确定含和的项 含的项为 含的项为 故 1.2 阶行列式中非0元素的个数少于个或等于0的元素如果比还多,求行列式的值. 解: 1.3 由行列式证明:奇偶排列各占一半. 证明:由行列式定义 为所有阶排列求和.上式表明,此时行列式的展开式的项中一半带正号,另一半带负号.正项对应偶排列,负项对应奇排列.故奇偶排列各占一半. 1.4 阶行列式中任一行任一列中有且只有一个元素为1,其余元素均为0,求该行列式的值. 解: 由行列式定义,其值是取有不同行不同列的个元素乘积之代数和, 因此行列式中任一行、任一列中只有一个元素为1,其余均为0. 所以行列式展开式定义展开的项,只剩下一个非0项,此项为1或-1. 即 该行列式的值为1或-1. 1.5 已知 证明: 有小于1的根. 证明: , , 又知多项式在上连续,又内可导, 故 存在,使, 即有小于1的正根. 1.6 有( ). 最大值. 最小值. 最大值1. 最小值1. 解: 经过和变换得, 经过变换,有上式 经过变换,有上式 有最大值. 故应选. 利用行列式的基本性质. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。 1.7设有n阶方阵 ，则 [解] 1.8设A为10×10矩阵， 计算行列式， 其中E为10阶单位矩阵，为常数. [解] （按第一列展开）