第一章,第四讲(、).docVIP

第一章 第四讲 行列式与矩阵 （§1.5、§1.6） 行列式是高等数学中一个重要的工具，不仅在理论上蕴含着丰富的数学思维，而且 有非常广泛的应用. 行列式 重要性质（6条） 行列式的计算（4种） 应用（解线性方程组） 行列式 （§1.5 ） 一、行列式－－定义 1、行列式——定义 （强调） 由个实数或复数排成的“阵式” ， 这个阵式代表一个数，称为行列式. 称为行列式的元素，它位于行列式的第行、第列； 称为行列式的第行；称为行列式的第列； 2、行列式的转置——转置行列式 将行列式的第行放到第列，，所得的行列式称为的转置行列式，记为 数是由归纳法定义的： ：； ：； ：； 一般地， ， 其中 ， 、分别称为行列式的余子式与代数余子式，而行列式也常记为. 强调：（1）））； 2、对调行列式中任意两行（或两列）的位置，行列式的值改变符号 ； 3、将行列式的某一行乘以常数，则行列式的值也乘以 ； 4、只有第行（列）不同，其余各行（列）都相同的两个行列式相加，其和由“和行列式”表示， “和行列式”的第行等于两个行列式的第行（列）的对应元素相加，其余各行（列）不变 ； 强调：同阶的两个分列式相加，不等于对应的元素相加. 5、若行列式的两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于0；特别地，若行列式的两行（列） 相等，则行列式为0； ; 6、把行列式的某一行（列）的元素乘以常数，再加到另一行（列）的对应元素上，则行列式的值 不变 . 三、行列式的值的计算 1、行列式的值也可表示为（按第一行展开） ； 2、行列式的值也可表示为（按第列展开） ； 3、行列式有如下展开式（按第行展开） 4、行列式可分块求值（分块求值） ， 其中是阶行列式、是阶行列式（是阶行列式）. 强调：行列式的计算可以充分利用行列式的性质，能简单则简单，高阶的行列式一般 不要硬算；请仔细阅读教材中的例子，并掌握行列式的计算技巧. 四、行列式的应用——Cramer法则 求线性方程组的解： . 用表示方程组的系数行列式，则有如下Cramer法则（定理1.5.4）： 设，则方程组的解是 ， 其中 、、 、 . 矩阵 （§1.6） 矩阵，是线性代数中最重要的内容，也是联系高等数学与近代数学的纽带. 矩阵 矩阵运算 加法 数乘 乘法 转置 逆 伴随 初等变换 一、矩阵的定义 1、矩阵定义 （强调） 由个实数或复数排成的“阵式” ， 这个阵式为阶矩阵，若，则称为阶方阵. 称为方阵的元素，它位于行列式的第行、第列； 称为矩阵的第行；称为矩阵的第列；则矩阵可表示为 、 或 . 强调：（1）））可以与一个阶行列式对应： ， 并称为的行列式； （4）、 ； （2） 对角方阵 ； （3） 单位方阵 ； （4） 上三角方阵 ； （5） 下三角方阵 ； （6） 非异方阵、奇异方阵 方阵的行列式不等于0，即，则称方阵 为非异方阵；否则，称为奇异方阵. 二、 矩阵的运算 记 为阶矩阵的全体所成的集合 1、 矩阵加法 ； 2、 矩阵数乘 ； 于是，在加法与数乘之下，成为一个线性空间，因为 （意义） 矩阵加法与数乘运算满足如下规则 任意两个元，加法运算“”，数乘运算“”，，使得 ◆ 对加法“＋”运算，满足： （a）运算封闭性，亦即，蕴含； （b）交换律，亦即，蕴含； （c）结合律，亦即, 蕴含； （d）存在单位元，亦即, 存在加法的单位元，使得对每个，都有； （e）存在逆元，亦即, 对每个，存在元, 使得； ◆ 对数乘“”运算满足： （a’）运算封闭性，亦即，对于与数，蕴含； （b’）结合律，亦即, 对于与数, 蕴含； （c’）分配律，亦即,与数, 蕴含 ； ； 故为“线性空间”. 强调：与线性空间相比较 —— 数学的抽象. 3、矩阵的转置 将矩阵的第行放到第列，，所得的矩阵称为的转置矩阵，记为， . 若是阶矩阵，亦即，，则是阶矩阵，. 矩阵转置的运算规则 任意两个元， （a）； （b）； （c）； 强调：矩阵的转置视为“运算”. 4、 矩阵的乘法 矩阵，与的乘积定义为矩阵，其中 ， . 亦即，. 矩阵乘法的运算规则 ， （a）； （b）； ； （c）； （d）； （e）. 强调：（1）矩阵的乘法关于行、列的限制； （2）矩阵的乘法不满足交换律； （3）两个方阵一定可以相乘，但一般也不满足交换律.