微积分中不等式的证明方法.docVIP

习题课 一、 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1、 证明不等式 . 证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , …… 例2、 证明不等式 . 证：考虑函数, . 易见对任何, 在区间 上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 , . 因此有 . 取, . 在区间仿以上讨论, 有. 而 ， . 综上 , 有不等式. 2、某些不等式的积分推广: 原理: 设函数和在区间 上可积. 为区间 的等分分 法, . 若对任何和, 均有 , 即得. 令, 注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式 . 倘若函数和连续 , 还可由 . 例3、 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ): 设函数和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 . 证法一： ( 由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅 上册P4 Ex 第10题 : 设和为两组实数, 则有 . ) 设为区间 的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有 , 两端同乘以, 有 , 令, 注意到函数、和在区间 上的可积性 以及函数的连续性，就有积分不等式 . 证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数，有 ， , 即 对任何实数成立. 即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 , 即 . 例4、 且 . 证明不等式 . 证： 取 . 对函数 和应用Schwarz 不等式, 即得所证 . 例5、 设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式 . 证： 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式 . ( 参阅上学期期末考试题第21题 ) 设为区间 的等分分法. 由上述不等式 , 有 . 令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式 . 仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .例 如[1]P334—335 Ex 2，6，8. 二、 面积函数的导数 : 例6、 求 和 例7、 求和 例8、 求 . 例9、 设 时函数连续且 . 求. (= ) 例10、 设函数连续且 . 求和 . 解： 令 . 两端求导, = . 例11、 设. =. 试证明 : =. 证： =, =. 例12、 设函数在区间上连续且0. . 试证明: 函数在区间内严格递增. 证： = , 而 . 0 , 在内 ，又连续 ， ， 在区间内0 . 因此在区间内 严格递增. 三、含有变限积分的未定型极限: 例13、 求极限 . ( 2 ) 四、 定积分的计算 : 例 14、 计算积分 . 例15、 计算积分= . 解： 时, = ; 时, = ; 时, = . 因此, 例16、 利用积分 的值 ( 参阅§4例15 或[1]P306 E8 ), 计算积分 . 解： . , 而 , . 因此， 例17、 , 求 ( 2 ) [4]P215 E62 例18、 设是区间 上连续的偶函数 . 试证明 : 是 上的奇函数 . 证法 一： . 证法 二： 注意到 , 有 ==. 五、利用定积分求和式极限 : 参阅[3]P162 — 168 . 原理: 例19、 求极限 . [3] P163 E13 . 与§