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第4部分　模型参考自适应控制系统 1　概述 1.1模型参考自适应控制（MRAC） 图1.1模型参考自适应控制系统 由四部分组成： 带有未知参数的被控对象 假设被控对象的结构已知。对于线性系统，这意味着系统的极点数和零点数是已知的，但它们的位置是未知的。 参考模型（它描述控制系统的期望的输出） 应当能反映控制任务中的指定的性能； 规定的理想性态应当是自适应控制系统可以达到的，即当给定对象模型结构后，对参考模型的结构有一些特有的限制（如阶数和相对阶）。 带有可校正参数的反馈控制律 可以得到一族控制器； 应当具有“完全的跟踪能力”，达到跟踪收敛，即当被控对象的参数精确已知时，相应的控制律应当使系统的输出与参考模型的输出相等； 现有的自适应控制设计通常要求控制器参数线性化。如果控制规律中可调整的参数是线性的，则称控制器是参数线性化的。 校正参数的自适应机制 能保证当参数变化时系统稳定并使得跟踪误差收敛到零； 设计方法有李雅普诺夫定理，超稳定性理论，耗散理论等。 质量未知的模型参考自适应控制 图1.2 一个非线性质量一阻尼—弹簧系统 图1.2中的质量一阻尼—弹簧系统，其动力学方程为 其中，表示非线性耗散式阻尼，而代表非线性弹簧。 考查用电动机力控制一个质量为的质点在没有摩擦的表面上运动，其性态可以描述为 （1.1） 假设给控制系统发出定位指令。用下面的参考模型给出受控物体对外部指令的理想响应 （1.2） 其中，正常数和反映指定的性能，在理想情况下，物体应当像质量—弹簧—阻尼系统一样运动到指定的位置。 若质量精确已知，可以用下面的控制律实现完全跟踪 其中，表示跟踪误差， 是一个严格大于零的数。由这个控制器可以得到按指数收敛的误差系统 现在假设质量 不是精确已知的。可以用下面的控制律 （1.3） 其中，表示可以校正的参数。将这个控制律带入对象动态中，得到闭环误差动态 （1.4） 其中，是组合跟踪误差，定义为 （1.5） 信号量 定义为 参数估计误差 定义为 方程(1.4)表明组合跟踪误差与参数误差通过一个稳定滤波器相关联。 的参数更新规律 （1.6） 其中正常数 称为自适应增益。 注：参数 的校正是基于系统的信号，自适应控制系统具有非线性本质，从而控制器（1.3）也是非线性的。 仿真分析：设物体的真实质量是 ，选择零作为 的初值，这表明预先不知道真实质量。自适应增益为 ，分别选择其他设计参数为 ， ， 。 图1.3 跟踪性能和未知质量参数的估计， 图1.4 跟踪性能和未知质量参数的估计， 图1.3表示位置指令为，初始条件为 ，的仿真结果。 图1.4表示期望位置是正弦函数的仿真结果。 两种情形下位置跟踪误差均收敛到零，而只有后一种情形参数误差趋于零。 1.2 模型参考自适应控制方法(MRAC)和自校正控制方法（STC）的关系 STC MRAC 更新参数是为了使得输入—输出之间的拟合误差最小 更新参数是为了使得被控对象和参考模型之间的跟踪误差最小 具有更高的灵活性，可以将不同的估计器和控制器耦合起来（即估计和控制分离） 控制律和自适应律的选择相对复杂 一般很难保证自校正控制器的稳定性和收敛性。通常要求系统的信号足够丰富，才能使得参数估计值收敛到真实值，才能保证系统的稳定性和收敛性。 不管信号充足与否，系统的稳定性和跟踪误差的收敛性通常是可以保证的 从随机调节问题的研究中演化而来 从确定自动伺服系统的最优控制中发展起来的 通常用于离散时间系统 一般用于连续时间系统 2 李雅普诺夫理论基础 2.1 非线性系统与平衡点 1．非线性系统 一个非线性动力系统可以用以下的非线性微分方程描述 （2.1） 其中，f是一个n×1的非线性向量函数，而x是一个n×1的状态向量。状态数n称为系统的阶。 状态向量的一个特定值对应于状态空间的一个点。 方程（2.1）的一个解对应于状态空间的一条曲线，通常称为状态轨线或系统轨线。 （2.1）可以表示一个无控制信号的动态系统（自由系统），也可以代表一个反馈控制系统的闭环动态。 如果系统的动态方程为 而设计的控制律为 闭环系统的动态方程可以被改写成（2.1）的形式。 一类特殊的非线性系统是线性系统。线性系统的动态方程为 其中，A(t)为一个n×n矩阵。 2 自治系统与非自治系统 定义2.1 非线性系统（2.1）称为自治的，如果f不显含t，即如果系统方程可写作 （2.2） 否则，该系统称为非自治的。 控制系统的非自治性可能来自模型或控制器。设有一个时不变的动