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1.图乘法原理 建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。 梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式： 称莫尔积分 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。 §4-4 图乘法 2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； 3、图乘法公式 ←杆轴为直线 ←杆段EI为常数 图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。 Mp dx 4、 注意事项 （1）必须符合图乘法的适用条件； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； 还记得吗？ （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l/4 l/4 3. 图形相乘的几种情况 （1）常见图形面积和形心： 矩 形 三角形 标准二次 抛物线 （2） 梯形相乘 b c取负值 （3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形及折线图形相乘 （5）阶形杆件图形相乘 M(x) x l x ω C 对于等直杆有 当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l/4 l/4 解： 解： 1/2 1 y1 ω2 y3 8 12 4 4 MP图 ω1 ω3 y2 图 1 A C B B A C （kN.m) 解： 例5-5 求ΔCH，EI等于常数。 解： 作业： 4-3 (a)；(c) §4-5 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。 一、 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等。 下图给出状态I和状态II。 令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到： 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到： 所以 即 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。 二、 位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的及荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。 即 δ12= δ21 由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移Δij及力FPj的比值是一个常数，记作δij，即： 或 例1 验证位移互等定理。 例2 验证位移互等定理。 解： 三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。 根据功的互等定理有： 在线性变形体系中，反力FRij及Cj的比值为一常数，记作rij，即 或 所以 得 例6-3 验证反力互等定理。 可见：r12=r21 在任一线性变形体系中，位移C1引起的及位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。 四、位移反力互等定理 根据功的互等定理有： 令 上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应及支座种类相应。 位移反力互等定理在混合法中得到应用。 例4 验证位移反力互等定理。