第一节　不定积分的概念与性质.pptxVIP

第一节　不定积分的概念及性质 一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x的原函数. 1.原函数的概念 （1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函 数一定存在？ （2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼 此 之间有何关系？ 问题: 答案: (1)如果函数在区间上连续，则它的原函数 一定存在．具体理由将在下一章给出． (2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项. 证 设F(x)，G(x)是f (x)在区间 I 上的任意两个原函 数.所以 F(x) = G(x) = f (x)， 即 G(x) = F(x) ＋C0 ( C0为某常数). 所以有 G(x)－ F(x) = C0 ， 于是 [G(x)－ F(x)] = G(x) － F(x) = f (x)－ f (x) = 0 2.不定积分的概念 例1 求 例3 求 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族. 3.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行（图5.1）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的切线斜率. . 4 不定积分及微分的关系 微分运算及积分运算互为逆运算. 例4 计算下列积分 例5 计算下列积分 性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 性质2可以推广到有限多个函数的情形，即 性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即 例6 求 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 例7 求 例8 求 解 例10 求 例11 求 例12 求 注 例9-例12在基本积分公式中没有相应的类型,但经过对被积函数的适当变形化为基本公式所列函数的积分后,便可逐项积分求得结果. 第二节 不定积分的积分方法 一、 第一类换元积分法 二、 第二类换元积分法 三、 分部积分法 四、 简单有理函数的积分 五、 积分表的使用 例1 综合上述分析，此题的正确解法如下： 解 定理1 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”. 用第一换元积分法求不定积分的步骤是 还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 = u,还需要在被积表达式中再凑出 即 ,也就是 ,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为 在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法. 例2 求 例3 求 例4 求 例5 求 例6 求 用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公 式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各 式中，a，b均为常数，且 ) : 例7 求 例8 求 例9 求 类似地，有 例10 求 例11 求 　 例12 求 解 二、第二类换元积分法 定理2 设 是单调可导的函数， 且 如果 则有 ． 第二类换元法求不定积分的步骤为 例13 求 解 例12—例13的解题方法称为根代换法, 一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形： 例14 求 例15 求 例16 求 例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形： 补充的积分公式： 公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . 注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难 为易，解题的关键在于恰当的选择u和v. 选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定 即一般情况下，u及dv按以下规律选择 例1 求 例2